[obm-l] Re: [obm-l] soluções inteiras

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

 Aí vai Rafael:

Suponhamos, sem perda de generalidades, que  1 <= x <= y <= z. Claramente x
= 1 é impossível, pois assim teríamos y < 0.

Por outro lado, se x >= 4:   1/x + 1/y + 1/z <= 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 < 4/5

Portanto teremos soluções inteiras somente se x = 2 ou x = 3.

i) x = 3   =>   1/y + 1/z = 7/15. Se y >= 5   =>   1/y + 1/z <= 2/5 < 7/15.

  Assim, y = 3 ou y = 4. Em ambos os casos z não é inteiro.

ii) x = 2   =>   1/y + 1/z = 3/10. Se y <= 3   =>   1/y + 1/z > 1/3 > 3/10.

  Se y >= 7   Þ   1/y + 1/z <= 2/7 < 3/10. Deste modo, y = 4, 5 ou 6.

Se  y = 4   =>   z = 20

Se  y = 5   =>   z = 10

Se  y = 6   =>   z  não é inteiro

Temos então, a menos da ordem, as soluções  (2, 4, 20) e (2, 5, 10).

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, May 09, 2003 5:33 PM
Subject: Re: [obm-l] soluções inteiras


> Valeu Peter! Realmente eu limitei os valores e acabei
> encontrando outra resposta:
> 1/2 + 1/4 + 1/20 = 4/5
>
> Pelas alternativas do problema já era possível
> escolher a alternativa correta. Mas agora fiquei
> curioso como saber se haveria outras possibilidades.
> Alguém pode me ajudar?
>
> Abraços,
>
> Rafael.
>
>  --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> escreveu: > Eu me
> lembrava so no caso de 2 variaveis,que era uma
> > fatoraçao esperta.Mas o melhor e usar desigualdades
> > e ver onde da:suponha WLOG que x>=y>=z.Ai ce
> > consegue limitar os caras.Testa e ve onde da!
> >
> > Rafael <matduvidas@yahoo.com.br> wrote:Olá Pessoas!
> >
> > Estou resolvendo um exercício onde tenho que achar
> > todas as soluções inteiras positivas de uma equação
> > com 3 variáveis. Cheguei a ficar assim
> > 1/x + 1/y + 1/z = 4/5
> >
> > E agora preciso responder. Tentando intuitivamente,
> > acabei achando que:
> > 1/10 + 1/5 + 1/2 = 4/5
> >
> > Mas queria saber como chegra a esses valores e como
> > saber se realmente não há mais nenhum.
> >
> > Fiquei pensando o seguinte, se os numeradores não
> > mudam, será que tem com mudar os denominadores de
> > tal
> > forma que o resultado ainda seja 4/5 ou será que
> > isso
> > nunca seria possível?
> >
> > Abraços,
> >
> > Rafael.
>
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