Re: [obm-l] serie incompleta

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

  Nao havia visto que ja tinham duas respostas na lista para o problema :)
Acabei mandando uma terceira igual.. Em particular, descobri o que eu estava
errando :)  (era 'e' ao inves de '1' na linha da resposta)..
  De qualquer jeito, para que essa mensagem nao fique inutil, eh legal
comentar que sempre que voce conhece Somatorio_ k=0 a oo de ( a_k * x^k )
voce eh capaz de calcular Somatorio_k=r(modm) de ( a_k )..
  Basta adaptar essa mesma ideia, utilizando as raizes indice m da
unidade...
  Um exemplo classico de aplicacao disso eh Somatorio_k>=0_ C(n,3k) , onde
C(a,b) eh a!/b!/(b-a)!.
  Abracos,
  Marcio

----- Original Message -----
From: "Ralph Teixeira" <RALPH@fgv.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, May 08, 2003 3:56 PM
Subject: RES: [obm-l] serie incompleta


> Hmmm... Acho que dá (e-cos(sqrt(3)/2)/sqrt(e)+sqrt(3/e)*sin(sqrt(3)/2))/3.
Acho que é isso, olhou e viu...
>
> :) :) :)
>
> Bom, até dá algo assim, mas o "olhou e viu" é brincadeira... Faça o
seguinte:
>
> i) Você vai precisar da seguinte série:
>
> e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
>
> Gostaríamos de escolher valores de x que fizessem 2 de cada três termos
desaparecer...
>
> ii) Seja w uma raiz de w^2+w+1=0, isto é, uma raiz cubica primitiva da
unidade (w^3=1). Note que w^4=w, w^5=w^2, etc.
>
> Minha primeira idéia foi tentar calcular e^1 + e^w + e^(w^2)... Por quê?
Ora, note que:
>
> e =     1+1  +  1/2!+  1/3!+ ... = 1+  1+  1/2!+1/3!+  1/4!+
1/5!+1/6!+...
> e^w =   1+w  +w^2/2!+w^3/3!+ ... = 1+  w+w^2/2!+1/3!+
w/4!+w^2/5!+1/6!+...
> w^(w^2)=1+w^2+w^4/2!+w^6/3!+ ... = 1+w^2+  w/2!+1/3!+w^2/4!+
w/5!+1/6!+...
>
> Se fosse somasse estas três, de cada três termos, dois sumiam (pois
1+w+w^2=0).
>
> iii) Infelizmente, os termos que ficam são os que têm 1, 1/3!, 1/6!,
etc... Não é o que queremos, mas é fácil ajeitar. Experimente escrever e
somar as séries de:
>
> e = ...
> w^2.e^w = ...
> w.e^(w^2) = ...
>
> Faça as contas, os "1", "w" e "w^2" da vida aparecem onde a gente quer
para sumir com todos os termos EXCETO os que têm 1, 1/4!, 1/7!, etc, que
"viram 3". Ou seja:
>
> S = (e+w^2.e^w + w.e^(w^2))/3
>
> Depois é só conta...
>
> Abraço,
> Ralph
>
> -----Mensagem original-----
> De: Luis Lopes [mailto:llopes@ensrbr.com.br]
> Enviada em: quinta-feira, 8 de maio de 2003 12:54
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] serie incompleta
>
>
> Sauda,c~oes,
>
> Calcule   S = 1 + 1/4! + 1/7! + .... =
> \sum_{n>=0} 1 / (1 + 3n)!
>
> []'s
> Luís
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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