RES: [obm-l] serie incompleta

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

Hmmm... Acho que dá (e-cos(sqrt(3)/2)/sqrt(e)+sqrt(3/e)*sin(sqrt(3)/2))/3. Acho que é isso, olhou e viu...

:) :) :)

Bom, até dá algo assim, mas o "olhou e viu" é brincadeira... Faça o seguinte:

i) Você vai precisar da seguinte série:

	e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Gostaríamos de escolher valores de x que fizessem 2 de cada três termos desaparecer...

ii) Seja w uma raiz de w^2+w+1=0, isto é, uma raiz cubica primitiva da unidade (w^3=1). Note que w^4=w, w^5=w^2, etc.

Minha primeira idéia foi tentar calcular e^1 + e^w + e^(w^2)... Por quê? Ora, note que:

e =     1+1  +  1/2!+  1/3!+ ... = 1+  1+  1/2!+1/3!+  1/4!+  1/5!+1/6!+... 
e^w =   1+w  +w^2/2!+w^3/3!+ ... = 1+  w+w^2/2!+1/3!+  w/4!+w^2/5!+1/6!+...
w^(w^2)=1+w^2+w^4/2!+w^6/3!+ ... = 1+w^2+  w/2!+1/3!+w^2/4!+  w/5!+1/6!+...

Se fosse somasse estas três, de cada três termos, dois sumiam (pois 1+w+w^2=0).

iii) Infelizmente, os termos que ficam são os que têm 1, 1/3!, 1/6!, etc... Não é o que queremos, mas é fácil ajeitar. Experimente escrever e somar as séries de:

e = ...
w^2.e^w = ...
w.e^(w^2) = ...

Faça as contas, os "1", "w" e "w^2" da vida aparecem onde a gente quer para sumir com todos os termos EXCETO os que têm 1, 1/4!, 1/7!, etc, que "viram 3". Ou seja:

S = (e+w^2.e^w + w.e^(w^2))/3

Depois é só conta...

Abraço,
	Ralph

-----Mensagem original-----
De: Luis Lopes [mailto:llopes@ensrbr.com.br]
Enviada em: quinta-feira, 8 de maio de 2003 12:54
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] serie incompleta


Sauda,c~oes,

Calcule   S = 1 + 1/4! + 1/7! + .... =
\sum_{n>=0} 1 / (1 + 3n)!

[]'s
Luís


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================