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[obm-l] Re: [obm-l] Por geo. analitica e plana
Talvez a solução tenha ficado com algumas partes mal explicadas. Vamos tentar
explicar melhor algumas coisas.
Vamos falar primeiro sobre homotetia no plano. Seja O um ponto do plano.
Uma homotetia T de centro O e constante
k é uma transformação no plano que leva cada ponto do plano A diferente
de O em outro ponto do plano A' tal que são satisfeitas as duas condições
abaixo:
i) A, O e A' são colineares;
ii) A'O/AO = k
Diremos que T(A)=A'
Vale ressaltar que k pode ser qualquer valor real diferente de zero. De
fato, levando em conta em ii) as direções de A'O e AO, k menor do que zero
significa que A'O e AO têm sentidos contrários ( logo O fica entre A e A'
) e quando k>0, A'O e AO têm o mesmo sentido, o que é equivalente a A' estar
na semi-reta OA.
Afirmação: uma homotetia leva um dois pontos A, B em outros dois A', B'
tais que AB é paralelo a A'B'.
De fato, se T(A)=A' e T(B)=B', temos que A'O/AO=k=B'O/BO, que é o teorema
de Tales, donde AB//A'B'.
Da afirmação acima, decorre que homotetia preserva colinearidade, já que
se A, B, C são colineares então A'B'//AB e A'C'//AC. Como AB e AC são a
mesma reta, temos que A', B',C' são colineares ( faça uma figura. Fica
bem fácil de perceber ).
Como uma última observação, T preserva concorrência.
Agora já podemos resolver o problema!
Solução por geometria plana: seja T a homotetia de centro G e razão -2.
Vamos mostrar que T(O)= H. Veja que, se mostrarmos isso, teremos que O,
G e H são colineares e, além disso, que HG/GO=2.
Mas veja que se M é o médio de BC, então T(M)= A, pois o baricentro G divide
cada mediana em duas partes na proporção 2:1. Assim, a mediatriz l de BC,
que passa por M e é perpendicular a BC, é levada numa reta paralela a l
( logo perpendicular
a BC ) que passa por A. Mas essa reta é exatamente a altura relativa a BC.
Assim, cada mediatriz é levada na altura relativa ao mesmo lado que essa
mediatriz divide. Assim, o circuncentro O, que é a interseção das mediatrizes,
é levado na interseçao das alturas, que é o ortocentro, ie., T(O)=H, como
queríamos.
Vou apenas mencionar a prova analítica: vamos considerar AB o vetor de
origem A e extremidade B. Considere O a origem. Então é possível provar
que ( agora estamos considerando H como o ortocentro mesmo! ) OH = OA+OB+OC,
OG=(OA+OB+OC)/3 (tente provar isso!). Daí, OH=3OG, donde o resultado segue.
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
>
>Caro Jorge,
> A Demonstração da reta de Euler por Geometria Plana segue abaixo:
>
> Sejam A, B e C os vértices do triângulo. Sejam O, B e
C
>o
>
> ortocentro, baricentro e circuncentro deste triângulo, respectivamente.
>
> Sejam M e N os médios de BC e AC, respectivamente.
>
> Os triângulos CMN e OAB são semelhantes, pois que são paralelos
>
> dois a dois: MN e AB, CM e OA, CN e BO. A razão da semelhança é 1/2,
pois
>
> que MN = AB/2.
>
> Seja K é a intersecção de OC com AM. Os triângulos AOK e MCK
são
>
> semelhantes, pois que OKA = CKM (OPV) e AO é paralelo a CM. Como
>da
>
> primeira semelhança (parágrafo acima) CM = AO/2, então KM = KA/2, então
>K
>
> é o baricentro de ABC, isto é, K = B. Então, O, B e C são colineares,
>e
>
> ainda, BC = OC/3.
>
>
>
> Um forte abraço, João Carlos.
>
>
>
>
>
> "jorge.jf"
>
> <jorge.jf@bol.com.br> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Enviado Por: cc:
>
> owner-obm-l@sucuri.mat Assunto: [obm-l] Por
>geo. analitica e plana
> .puc-rio.br
>
>
>
>
>
> 04/05/2003 01:42
>
> Favor responder a
>
> obm-l
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> Demonstrar analiticamente que o baricentro, o
>circuncentro e o ortocentro de qualquer triângulo são
>colineares. A reta de colineridade é denominada Reta de
>Euler.
>
> Peço aos colegas também a demonst. geométrica plana.
>
> Um abraço e obrigado.
>
>
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