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Na quinta questão eu acho que tem um erro. Se AB =
a e CD = 2a então os ângulos DAB e ABC deveriam ser maiores que 90 graus. Acho
que o correto é AB = 2a e CD = a. Na minha solução abaixo vou seguir esta
correção.
5°)
(Eslovênia) O trapézio ABCD tem as duas bases AB e CD medindo a e 2ª,
respectivamente, e os ângulos
DÂB = 43° e o ABC =
47°. Encontre a distância entre os pontos médios das duas bases.
Na verdade esta solução vale para
quais dois ângulos que somados dê 90 graus.
Projete A e B sobre CD. Suponha que
P é a projeção de A e Q é o projeção de B.
Chame x = DP e z = CQ, ou
seja, x + z = a.
Seja y a altura do trapézio. Perceba
que ADP ~ CQB => x/y = y/z
=> y^2 = xz
Se M é o ponto médio de CD, então MQ
= a/2 - x
Se d é a distância entre os pontos
médios de AB e CD:
d^2 = y^2 + (a/2 - x)^2 = y^2 + x^2
- ax + a^2/4 = xz + x^2 - ax + a^2/4 = x(z + x) - ax + a^2/4 = ax - ax + a^2/4 =
a^2/4
Assim, d =
a/2.
Até
mais,
Marcelo Rufino de
Oliveira
Igor
Correia Oliveira,
#Mathematics
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