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[obm-l] Re: [obm-l] Pequena lista de dúvidas



A 10 (que na verdade é a sexta questão) sai da seguinte maneira
 
10°) Sejam a, b, c, d números reais positivos, tais que d = max{a,b,c,d). Demonstrar que a*(d-c) + b*(d-a) + c*(d-b) =< d²
 
 
 
Igor Correia Oliveira,
 
 
Divida por d^2 os dois lados da desigualdade. Fica assim:
 
(a/d)[1 - (c/d)] + (b/d)[1 - (a/d)] + (c/a)[1 - (b/d)] =< 1
 
Fazendo a/d = x,  b/d = y  e  c/d = z a desigualdade se transforma em:
 
x(1 - z) + y(1 - x) + z(1 - y) =< 1   =>   x + y + z =< 1+ xy + xz + yz,  onde 0 =< x, y, z =< 1
 
Repare agora que:
 
(1 - x)(1 - y)(1 - z) >= 0   =>   1 - (x + y + z) + (xy + xz + yz) - xyz >= 0   =>
 
x + y + z =< 1 + xy + xz + yz - xyz =< 1 + xy + xz + yz,   uma vez que xyz >= 0
 
 
Marcelo Rufino de Oliveira