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A 10 (que na verdade é a sexta questão) sai da seguinte
maneira
10°)
Sejam a, b, c, d números reais positivos, tais que d = max{a,b,c,d). Demonstrar
que a*(d-c) + b*(d-a) + c*(d-b) =< d²
Igor
Correia Oliveira,
Divida
por d^2 os dois lados da desigualdade. Fica assim:
(a/d)[1
- (c/d)] + (b/d)[1 - (a/d)] + (c/a)[1 - (b/d)] =< 1
Fazendo
a/d = x, b/d = y e c/d = z a desigualdade se transforma
em:
x(1
- z) + y(1 - x) + z(1 - y) =< 1 => x + y + z =<
1+ xy + xz + yz, onde 0 =< x, y, z =< 1
Repare
agora que:
(1
- x)(1 - y)(1 - z) >= 0 => 1 - (x + y + z) + (xy +
xz + yz) - xyz >= 0 =>
x
+ y + z =< 1 + xy + xz + yz - xyz =< 1 + xy + xz + yz, uma vez
que xyz >= 0
Marcelo
Rufino de Oliveira
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