Re: [obm-l] FW: Integral da funcao de Planck

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

    Quando exatamente eu posso trocar a ordem da integral com o somatorio?
Por exemplo, considere a serie cujo n-o termo eh s_n = 1/(4n+1) + 1/(4n+3) -
1/(2n+2), cujos termos são todos positivos.
Ela converge, por comparação com a série a/n^2.

Para calcular Somatorio (0 a infinito) s_n, eu pensei em calcular:
     Somatorio(0 a infinito)_Integral (0 a 1) [x^4n + x^(4n+2) - x^(2n+1)]
    Trocando a ordem, ficamos com algumas PG's e:
    Integral (0 a 1) [1/(1-x^4) + x^2 / (1-x^4) - x/(1-x^2)] =
    Integral (0 a 1) [1/(1+x)] = ln2

Mas eu vi que essa soma vale, na verdade, 1.5 ln2 (inclusive me provaram
isso, e parece estar certo)..

Por outro lado, em outros problemas esse método funciona bem.. Por exemplo,
para calcular Somatorio ( 1/[(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)] ) a resposta parece dar
correta..

    Abracos,
    Marcio



----- Original Message -----
From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, April 21, 2003 9:36 PM
Subject: Re: [obm-l] FW: Integral da funcao de Planck


>    Bem, a integral em questao e' algo como
> Integral(0 a infinito)(a.v^3/(e^(bv)-1) dv), onde a=8.pi.h/c^3 e b=h/kT.
> Fazendo bv=x, dv=dx/b, nossa integral fica (supondo, e' claro, que b>0,
> senao a integral nao converge) (a/b^4).Integral(0 a
infinito)(x^3/(e^x-1))dx,
> mas, escrevendo 1/(e^x-1)=soma(n=1 a infinito)(e^(-nx)), temos que nossa
> integral e' (a/b^4)soma(n=1 a infinito)(6/n^4) (pois, fazendo y=nx, vemos
> que integral(0 a infinito)(x^3.e^(-nx) dx)=
> =(1/n^4).integral(0 a infinito)(x^3.e^(-x)dx)=6/n^4, pois, para todo k,
> integral(0 a infinito)(x^k.e^(-x)dx)=k! (inducao, funcao gama).
> Como soma(n=1 a infinito)(1/n^4)=pi^4/90, nossa integral e'
> (a.pi^4)/(15.b^4))=(8.pi^5.(kT)^4)/(15.(ch)^3).
>    Abracos,
>            Gugu
>
> >
> >A integral abaixo parece ser um bom exercicio para os membros de
> >plantao.=20
> >
> >=20
> >
> >Regards,
> >
> >=20
> >
> >Leandro
> >
> >=20
> >
> >-----Original Message-----
> >From: Frederico Elsner [mailto:frederico_elsner@msn.com]=20
> >Sent: Tuesday, April 15, 2003 10:49 AM
> >To: Leandro Lacorte Rec=F4va
> >Subject: Integral da funcao de Planck
> >
> >=20
> >
> >Leandro,
> >
> >=20
> >
> >A integral abaixo =E9 bastante interessante, e =E9 aquela de que eu te =
> >falei
> >
> >=20
> >
> >
> >
> >=20
> >
> >O que acha?
> >
> >=20
> >
> >Frederico
> >
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================