Re: [obm-l] FW: Integral da funcao de Planck

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Marcio,
   Para poder trocar a ordem em integral(soma(f_n))=soma(integral(f_n)) e'
necessario e suficiente que integral(soma(n >= k)(f_n)) tenda a 0 quando k
tende a infinito (e sempre podemos quando as f_n sao todas positivas, que e'
o caso do problema que eu resolvi). No seu caso isso nao acontece, pois essa
integral e' integral(0 a 1)(x^4k/(1-x^4)+x^(4k+2)/(1-x^4)-x^(2k+1)/(1-x^2))=
integral(0 a 1)((x^(4k)-x^(2k+1))/(1-x^2)), que NAO tende a 0 (mas sim a
-ln(2)/2) quando k tende a infinito.
   Abracos,
            Gugu
>
>    Quando exatamente eu posso trocar a ordem da integral com o somatorio?
>Por exemplo, considere a serie cujo n-o termo eh s_n = 1/(4n+1) + 1/(4n+3) -
>1/(2n+2), cujos termos são todos positivos.
>Ela converge, por comparação com a série a/n^2.
>
>Para calcular Somatorio (0 a infinito) s_n, eu pensei em calcular:
>     Somatorio(0 a infinito)_Integral (0 a 1) [x^4n + x^(4n+2) - x^(2n+1)]
>    Trocando a ordem, ficamos com algumas PG's e:
>    Integral (0 a 1) [1/(1-x^4) + x^2 / (1-x^4) - x/(1-x^2)] =
>    Integral (0 a 1) [1/(1+x)] = ln2
>
>Mas eu vi que essa soma vale, na verdade, 1.5 ln2 (inclusive me provaram
>isso, e parece estar certo)..
>
>Por outro lado, em outros problemas esse método funciona bem.. Por exemplo,
>para calcular Somatorio ( 1/[(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)] ) a resposta parece dar
>correta..
>
>    Abracos,
>    Marcio
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, April 21, 2003 9:36 PM
>Subject: Re: [obm-l] FW: Integral da funcao de Planck
>
>
>>    Bem, a integral em questao e' algo como
>> Integral(0 a infinito)(a.v^3/(e^(bv)-1) dv), onde a=8.pi.h/c^3 e b=h/kT.
>> Fazendo bv=x, dv=dx/b, nossa integral fica (supondo, e' claro, que b>0,
>> senao a integral nao converge) (a/b^4).Integral(0 a
>infinito)(x^3/(e^x-1))dx,
>> mas, escrevendo 1/(e^x-1)=soma(n=1 a infinito)(e^(-nx)), temos que nossa
>> integral e' (a/b^4)soma(n=1 a infinito)(6/n^4) (pois, fazendo y=nx, vemos
>> que integral(0 a infinito)(x^3.e^(-nx) dx)=
>> =(1/n^4).integral(0 a infinito)(x^3.e^(-x)dx)=6/n^4, pois, para todo k,
>> integral(0 a infinito)(x^k.e^(-x)dx)=k! (inducao, funcao gama).
>> Como soma(n=1 a infinito)(1/n^4)=pi^4/90, nossa integral e'
>> (a.pi^4)/(15.b^4))=(8.pi^5.(kT)^4)/(15.(ch)^3).
>>    Abracos,
>>            Gugu
>>
>> >
>> >A integral abaixo parece ser um bom exercicio para os membros de
>> >plantao.=20
>> >
>> >=20
>> >
>> >Regards,
>> >
>> >=20
>> >
>> >Leandro
>> >
>> >=20
>> >
>> >-----Original Message-----
>> >From: Frederico Elsner [mailto:frederico_elsner@msn.com]=20
>> >Sent: Tuesday, April 15, 2003 10:49 AM
>> >To: Leandro Lacorte Rec=F4va
>> >Subject: Integral da funcao de Planck
>> >
>> >=20
>> >
>> >Leandro,
>> >
>> >=20
>> >
>> >A integral abaixo =E9 bastante interessante, e =E9 aquela de que eu te =
>> >falei
>> >
>> >=20
>> >
>> >
>> >
>> >=20
>> >
>> >O que acha?
>> >
>> >=20
>> >
>> >Frederico
>> >
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