Re: [obm-l] serie interessante

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

  Saudacoes,
  Eu gostei muito desse problema. De fato e' possivel provar isso usando
tecnicas de analise complexa (residuos; pode-se comecar observando que o
residuo de 1/(tan(x)-x) em x_k solucao nao-nula de tan(x)=x e' 1/(x_k)^2,
pois a derivada de tan(x)-x em x_k e' sec^2(x_k)-1=tan^2(x_k)=(x_k)^2, mas
da' um pouco de trabalho provar tudo.).
  Os x_k  sao todos transcendentes, pois tan(x)=x significa
(e^(ix)-e^(-ix))/(e^(ix)+e^(-ix))=ix, donde (1-ix)e^(ix)-(1+ix)e^(-ix)=0.
Se x fosse um algebrico nao nulo,isso contradiria uma das formas do teorema
de Hermite-Lindemann-Weierstrass (que tambem implica que e e pi sao
transcendentes): se a_1,a_2,...,a_n sao algebricos distintos entao 
e^(a_1),e^(a_2),...,e^(a_n) sao linearmente independentes sobre os
algebricos. Ha' uma prova desse teorema na dissertacao de mestrado do Joao
Pedro (que foi meu aluno no IMPA e agora esta' em Cambridge):
http://www.preprint.impa.br/Shadows/SERIE_B/2002/3.html
  Abracos,
           Gugu

P.S.:8=pi+(4-pi)+pi/2+(4-pi)/2+pi/4+(4-pi)/4+... tambem e' uma soma infinita
de termos transcendentes que da' racional... (:-)

>
>Sauda,c~oes,
>
>O professor Rousseau acabou de me mandar
>o seguinte email:
>
>Dear Luis:
>
>  Thanks.  I am just writing up a solution set for one of
>my classes that includes a most remarkable sum.
>Unfortunately, I don't know even an Eulerian approach to
>this problem; only complex analysis works as far as
>I know.  Anyway, here is the series
>
>\sum_{k=1}^{\infty} 1/x_k^2 = 1/10,
>
>where 0 < x_1 < x_2 < x_3 < \cdots are the positive
>roots of  the equation  x = \tan x.  What's so remarkable
>about this series is that we don't have a precise value for
>any one of the terms (although they can be approximated
>to many decimal places by numerical computation), but
>we do have a precise value (1/10) for the sum.
>Something to ponder.
>
>Cecil
>
>Comentário: não sei se os x_k e os 1/x_k^2 são
>transcendentes mas se forem, teríamos uma soma
>infinita de termos transcendentes dando um número
>racional.
>
>[]'s
>Luís
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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