[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Trigonometria_e_Sequências

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

A soma S_n(q,\alpha) =
\sum_{k=0}^n  q^k \cos k\alpha pode ser calculada
com manipulações algébricas e trigonométricas
também. Mas concordo que usando números
complexos eh mais objetivo e rico por gerar
problemas (e soluções) como B2 e cuja
solução eu não conhecia.

De algum modo mostramos que S_n(q,\alpha)=
A / B, onde A = q^{n+2}\cos n\alpha -
q^{n+1}\cos(n+1)\alpha - q\cos\alpha + 1
B = 1 - 2q\cos\alpha + q^2

Se |q| < 1,

S = lim S_n = (1 - q\cos\alpha) / B

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: "Carlos Yuzo Shine" <cyshine@yahoo.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: sexta-feira, 11 de abril de 2003 20:06
Assunto: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Trigonometria_e_Sequências


> Ambos os problemas podem ser resolvidos usando o fato
> de que
>    cos x = (e^(ix) + e^(-ix))/2
>    sen x = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)
> (x em radianos)
>
> Para ver isso, verifique as expansões em polinômio de
> Taylor de e^x, sen x e cos x e verifique que
>    e^(ix)  = cos x + i*sen x
>    e^(-ix) = cos x - i*sen x
>
> Veja que com isso o problema A5 vira uma soma de duas
> progressões geométricas.
>
> O problema B2 usa os fatos acima e a fatoração
>  z^n - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1)),
> em que w = e^(2\pi/n) é uma raiz n-ésima primitiva da
> unidade.
>
> > A5. Sendo \cos(\theta) = 1 / \pi , calcule
> \sum_{n=0}^\infty  \cos(n\theta) / 2^n  .
>
> > B2. Para n >= 2, mostre que (produtório)
> > \sin(\pi / n) \sin(2\pi / n) ..... \sin[(n - 1)\pi /
> > n] = n / 2^{n-1} .
> >
> > []'s
> > Luís


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================