Problemas de sequencias de senos e cossenos da pra resolver ou com complexos ou com prostafereses espertas e induçao.
Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> wrote:
Ambos os problemas podem ser resolvidos usando o fato
de que
cos x = (e^(ix) + e^(-ix))/2
sen x = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)
(x em radianos)
Para ver isso, verifique as expansões em polinômio de
Taylor de e^x, sen x e cos x e verifique que
e^(ix) = cos x + i*sen x
e^(-ix) = cos x - i*sen x
Veja que com isso o problema A5 vira uma soma de duas
progressões geométricas.
O problema B2 usa os fatos acima e a fatoração
z^n - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1)),
em que w = e^(2\pi/n) é uma raiz n-ésima primitiva da
unidade.
> A5. Sendo \cos(\theta) = 1 / \pi , calcule
\sum_{n=0}^\infty \cos(n\theta) / 2^n .
> B2. Para n >= 2, mostre que (produtório)
> \sin(\pi / n) \sin(2\pi / n) ..... \sin[(n - 1)\pi /
> n] = n / 2^{n-1} .
>
> []'s
> Luís
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