Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Trigonometria_e_Sequências

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

So pra complementar o que o Shine escreveu:

Estas duas tecnicas:
expressar sen(x) e cos(x) em funcao de exp(ix) e exp(-ix)
e 
fatorar x^n - 1

sao suficientes pra se resolver a grande maioria de problemas envolvendo
somas e produtos de senos e cossenos.

*********

No caso especifico do 2o. problema proposto pelo Luis, as fatoracoes de
x^n - 1 que sao relevantes sao as seguintes:

x^n - 1 = (x - 1)*p(x)

Forma 1:
p(x) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1

(basta usar a formula da soma dos termos de uma PG)


Forma 2:
Se n eh par:
p(x) = (x + 1) * PRODUTO(1<=k<=(n-2)/2) (x^2 - 2*cos(2*k*Pi/n)*x + 1)

Se n eh impar:
p(x) = PRODUTO(1<=k<=(n-1)/2) (x^2 - 2*cos(2*k*Pi/n)*x + 1)

(neste caso, use a fatoracao em termos lineares que o Shine menciona e
agrupe os pares de fatores cujas raizes sao complexas conjugadas)
----------

A primeira forma implica que p(1) = n, o que nao parece tao inusitado ateh
compararmos esta forma com a fatoracao do Shine:

p(x) = (x - w)(x - w^2)...(x - w^(n-1)) ==>

(1 - w)(1 - w^2)...(1 - w^(n-1)) = n.

Pra pensar: Qual a interpretacao geometrica desta identidade?
(dica: pense na disposicao geometrica das raizes n-esimas da unidade no
plano complexo e no que o modulo de cada fator da lado esquerdo significa).

-----------

A segunda forma resulta em:
Se n eh par:
p(1) = 2 * PRODUTO(1<=k<=(n-2)/2) (1 - 2*cos(2*k*Pi/n) + 1) ==>

p(1) = 2^(n/2) * PRODUTO(1<=k<=(n-2)/2) (1 - cos(2*k*Pi/n)) ==>

(usando a identidade  1 - cos(2*x) = 2*sen^2(x) )

p(1) = 2^(n-1) * PRODUTO(1<=k<=(n-2)/2) sen^2(k*Pi/n)
-----------
Se n eh impar:
p(1) = PRODUTO(1<=k<=(n-1)/2) (1 - 2*cos(2*k*Pi/n) + 1) ==>

p(1) = 2^((n-1)/2) * PRODUTO(1<=k<=(n-1)/2) (1 - cos(2*k*Pi/n)) ==>

p(1) = 2^(n-1) * PRODUTO(1<=k<=(n-1)/2) sen^2(k*Pi/n)
------------

Agora, levando em conta que sen(Pi/2) = 1 e que, para 0 <= k <= n:
sen(k*Pi/n) = sen((n-k)*Pi/n), teremos:

Para n par:
PRODUTO(1<=k<=(n-2)/2) sen^2(k*pi/n) =
= sen((n/2)*Pi/n) * PRODUTO(1<=k<=(n-2)/2) sen(k*Pi/n)*sen((n-k)*Pi/n) =
= PRODUTO(1<=k<=n-1) sen(k*Pi/n)

Para n impar:
PRODUTO(1<=k<=(n-1)/2) sen^2(k*Pi/n) =
= PRODUTO(1<=k<=(n-1)/2) sen(k*Pi/n)*sen((n-k)*Pi/n) =
= PRODUTO(1<=k<=n-1) sen(k*Pi/n)

Assim, de qualquer jeito, teremos:
p(1) = 2^(n-1) * PRODUTO(1<=k<=n-1) sen(k*Pi/n)

Lembrando que p(1) = n, acabou.
Teremos PRODUTO(1<=k<=n-1) sen(k*Pi/n) = n/2^(n-1).


Um abraco,
Claudio.

on 11.04.03 20:06, Carlos Yuzo Shine at cyshine@yahoo.com wrote:

> Ambos os problemas podem ser resolvidos usando o fato
> de que
> cos x = (e^(ix) + e^(-ix))/2
> sen x = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)
> (x em radianos)
> 
> Para ver isso, verifique as expans?es em polin?mio de
> Taylor de e^x, sen x e cos x e verifique que
> e^(ix)  = cos x + i*sen x
> e^(-ix) = cos x - i*sen x
> 
> Veja que com isso o problema A5 vira uma soma de duas
> progress?es geom?tricas.
> 
> O problema B2 usa os fatos acima e a fatora??o
> z^n - 1 = (z - 1)(z - w)(z - w^2)...(z - w^(n-1)),
> em que w = e^(2\pi/n) ? uma raiz n-?sima primitiva da
> unidade.
> 
>> A5. Sendo \cos(\theta) = 1 / \pi , calcule
> \sum_{n=0}^\infty  \cos(n\theta) / 2^n  .
> 
>> B2. Para n >= 2, mostre que (produt?rio)
>> \sin(\pi / n) \sin(2\pi / n) ..... \sin[(n - 1)\pi /
>> n] = n / 2^{n-1} .
>> 
>> []'s
>> Lu?s
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================