Re: [obm-l] FW: Teoria dos grupos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Gugu:

Mais uma vez muitissimo obrigado.

Um grande abraco,
Claudio.

on 11.04.03 22:13, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

> Oi Claudio, 
> A sua hipotese implica que G e' abeliano, e portanto, pelo menos quando G
> e' finito, ele deve ser isomorfo a (Z/2Z)^n para algum n natural, e nesse
> caso o resultado segue facilmente, pois, se n>1, podemos permutar os fatores
> de (Z/2Z)^n e obter isomorfismos que nao fixam um dado elemento de ordem 2.
> Para ver que G e' abeliano, devemos mostrar que para quaisquer x e y,
> xy.x^(-1).y^(-1)=e (o elemento neutro), mas isso equivale a xyxy=e, mas
> xyxy=(xy)^2=e (pois todo elemento e' o inverso de si mesmo).
> Um outro jeito de provar essa generalizacao do teorema de Wilson e' o
> seguinte: no produto de todos os invertiveis modulo n aparecem varios pares
> a, a^(-1) que se cancelam, e sobram apenas os a com a^2=1 (mod n). se existe
> raiz primitiva modulo n existem apenas um valor de a diferente de 1 com
> a^2=1: a=g^(phi(n)/2)=-1, onde g e' uma raiz primitiva modulo n, e portanto
> o produto dos invertiveis e' um modulo n. No caso em que nao existe raiz
> primitiva modulo n, n=2^k com k>=3 ou n=bc, com b e c primos entre si e
> maiores que 2. Note que se a^2=1 entao (-a)^2=1, e esses a vem aos pares.
> Note que a.(-a)=-a^2=-1, donde nosso produto e' (-1)^(N/2), onde N e' o
> numero de tais a. Se n=2^k, com k>=3, temos N=|{a|a^2=1(mod 2^k)}|=
> =|{r.2(k-1)+e,r=0,1, e=-1,1}|=4. Se n=bc, com b e c primos entre si e
> maiores que 2, pelo teorema chines dos restos, o numero de tais a (mod n) e'
> o produto do numero de tais a (mod b) pelo numero de tais a (mod c), que e'
> sempre multiplo de 4, pois como vimos esses a vem sempre aos pares. Em
> qualquer caso N e' multiplo de 4 e nosso produto e' 1.
> Abracos,
> Gugu
> 
> 
>> 
>> Oi, Gugu:
>> 
>> Voce tem toda a razao. Eu me esqueci de mencionar uma outra hipotese
>> crucial: todos os elementos de G tem ordem <= 2.
>> 
>> Este problema apareceu quando eu tentava provar, usando teoria dos grupos,
>> uma generalizacao do teorema de Wilson:
>> Se n eh um inteiro > 2, entao o produto de todos os Phi(n) invertiveis (mod
>> n) eh igual a:
>> -1, se existe uma raiz primitiva mod n
>> ou
>> +1, se nao existem raizes primitivas mod n.
>> 
>> Obrigado e um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> 
>> on 11.04.03 16:25, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
>> wrote:
>> 
>>> Caro Claudio,
>>> Acho que isso nao esta' certo. Por exemplo, f(2)=2 para todo
>>> automorfismo de Z/4Z, pois 2 e' o unico elemento de ordem 2.
>>> Abracos,
>>> Gugu
>>> 
>>>> 
>>>> 
>>>> Caros colegas da lista:
>>>> 
>>>> Um problema de teoria dos grupos:
>>>> 
>>>> Seja G um grupo cuja ordem eh diferente de 2.
>>>> Seja a um elemento de G tal que f(a) = a para todo automorfismo f:G -> G.
>>>> Prove que a = identidade de G.
>>>> 
>>>> O resultado eh extremamente razoavel mas eu nao estou conseguindo prova-lo.
>>>> 
>>>> Agradeco qualquer ajuda.
>>>> 
>>>> Um abraco,
>>>> Claudio.
>>>> 
>> 
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