Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria e Sequências

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Luis:

O primeiro eh calcular S = SOMA(n>=0) cos(n*x)/2^n
com cos(x) = 1/Pi

Considere a soma SOMA(n>=0) (e^(ix)/2)^n =

Soma da PG infinita com 1o. termo 1 e razao e^(ix)/2 =

= 1/(1 - e^(ix)/2)

(a convergencia deve-se ao fato de que |razao| = 1/2 < 1)

1/(1 - e^(ix)/2) = 2/[2 - e^(ix)] =

= 2/[2 - cos(x) - i*sen(x)]

= 2*[2 - cos(x) + i*sen(x)]/[(2 - cos(x))^2 + sen^2(x)]

A parte real da expressao acima eh a soma que nos interessa (S):

S = 2*[2 - cos(x)]/[(2 - cos(x))^2 + sen^2(x)] =

= 2*[2 - cos(x)]/[5 - 4*cos(x)]

cos(x) = 1/Pi ==> S = 2*(2 - 1/Pi)/(5 - 4/Pi) ==>

S = 2*(2*Pi - 1)/(5*Pi - 4).


Um abraco,
Claudio.

on 11.04.03 17:49, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Na mensagem do Claudio Buffara sobre
> <Livro sobre Nos Complexos> aparece
> o site
> 
> Na internet voce tambem encontra alguns sites com problemas interessantes,
> tais como este aqui:
> http://math.stanford.edu/~vakil/stanfordputnam/02/putnam3.pdf
> 
> Proponho dois problemas tirados do site:
> 
> A5. Sendo \cos(\theta) = 1 / \pi , calcule
> \sum_{n=0}^\infty  \cos(n\theta) / 2^n  .
> 
> B2. Para n >= 2, mostre que (produtório)
> \sin(\pi / n) \sin(2\pi / n) ..... \sin[(n - 1)\pi / n] = n / 2^{n-1} .
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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