Boa noite colegas da lista.....
Igor, em essencia voce quer uma maneira rapida e alternativa para calcular o somatorio de qualquer progressao na forma {(a_1). (b_1),(a_2). (b_2),......,(a_n).( b_n)}na qual os termos a_k seguem uma PA de razao r_a ao passo que os termos b_k segue uma PA de razao r_b para 1<=k<=n.Vejamos isto: Vamos convencionar que a_1>=b_1.
Temos a_k = a_1 + r_a.(k-1) analogamente temos b_k = b_1 + r_b(k-1) logo temos a_k.b_k = a_1.b_1 + (a_1.r_b + b_1.r_a).(k-1) + r_a.r_b.(k-1)^2.Agora basta somar todos termos na forma a_k.b_k , lembrando que 1<=k<=n.Teremos entao uma soma S = n.a_1.b_1 + [(n-1)+(n-2)+......+2+1].(a_1.r_b+b_1.r_a)+[(n-1)^2 + (n-2)^2 +...........
+2^2+1^2].(r_a.r_b). Sabemos que 1+2+......+(n-1)=n(n-1)/2 (vou dispensar a prova desse fato) . Precisamos determinar agora f(n)=1^2 +2^2 + .......+(n-1)^2 .Vamos calcular f(n) pela identidade polinomal g(n+1)-g(n) = x.n^2 + y.n +z tal que g(k)= k^3.Temos entao que (n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3.n +1. Temos entao que o somatorio de (k+1)^3 com k variando de 0 a n - somatorio de k^3 com k variando de 0 a n = (n+1)^3 = somatorio de (3.k^2+3.k+1) com k variando de 0 a n = 3.n.(n+1)/2 + n + 1 + 3.[1^2 +2^2 + .........+ (n-1)^2 +n^2] =(n+1)^3 Fazendo as contas teremos 1^2 +2^2 +.........+n^2 = n^3/3 + n^2/2 + n/6 = n.(n+1).(2n+1)/6 =f(n+1) , portanto f(n) = n.(n-1).(2n-1)/6 = 1^2 + 2^2 +.........+(n-1)^2.
Voltando ao problema inicial, teremos S = n.(a_1).(b_1) + (a_1.r_b+b_1.r_a).n.(n-1)/2 +(r_a.r_b). n.(n-1).(2.n-1)/6. O que acabei de fazer é uma generalizaçao para qualquer PA de 2 ordem,portanto vale para a soma que voce propos:1.2 + 2.3 + ........+ 49.50 = 41650
Por razoes praticas ,resolva estas questoes por meio do triangulo de pascal ou entao por meio da formula deduzida acima.
Forte abraço
Felipe Mendonça Vitória-ES.