Re: [obm-l] Fibonacci

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Luis:

Realmente a solucao eh muito elegante, apesar do mega-coelho que voce tira
da cartola - a identidade razoavelmente obscura:
F(k-1)*F(m) - F(k)*F(m-1) = (-1)^k*F(m-k)
com k = n  e  m = 2n.

Assim, a solucao do Marcio, apesar de ser mais trabalhosa, me parece ser
mais natural (no sentido de ser mais provavel de ser encontrada sem um
conhecimento previo de identidades de Fibonacci).

Mas valeu! Agora temos 2 solucoes bem diferentes pro mesmo problema. Quem
sabe combinando as duas da pra obter alguma generalizacao...

Um abraco,
Claudio.


> 
> para m >= k.    (*)     (e F_0 = 0    lembrando
> uma outra mensagem)

on 16.04.03 17:35, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Oi Claudio,
> 
> Depois de 3 dias sem o Terra soh vai dar
> pra comentar uma msg hoje.
> 
>> Mesmo o problema de se achar:
>> S = SOMA(n>=0) 1/F(2^n)
>> esta' longe de ser trivial.
> Concordo. Mas tenho uma solução elegante.
> 
>> Acho que a formula: F(2k) = [F(k+1) + F(k-1)]*F(k)
>> deve entrar em algum lugar na demonstracao e,
>> de algum jeito, a restricao as potencias de 2 deve
>> fazer aparecer alguma PG cuja soma eh S.
> Mais ou menos. Continue a ler.
> 
>> Eu sei que S = 4 - A, onde A = (1 + raiz(5))/2, ou seja,
>> S = (7 - raiz(5))/2.
> É verdade. Mas podemos encontrar também S_n.
> 
> Seja S_n = \sum_{i=0}^n  1 / F_{2^i}.
> 
> Para calcular S_n e depois S comece mostrando
> por indução que
> 
> F_{k-1}F_m - F_kF_{m-1} = (-1)^k F_{m-k}
> 
> para m >= k.    (*)     (e F_0 = 0    lembrando
> uma outra mensagem)
> 
> Feito isso,  coloque k=n   e   m=2n   em (*).
> 
> Obtemos F_{n-1}F_{2n} - F_nF_{2n-1} = (-1)^n F_n.
> Assim,
> 
> 1/F_{2n} = F_{n-1}/F_n - F_{2n-1}/F_{2n}
> para n par.   (**)
> 
> Logo, para n>= 2 e usando (**),
> 
> S_n = 1/F_1 + 1/F_2 + (F_1/F_2 - F_3/F_4) +
> (F_3/F_4 - F_7/F_8) + .... +
> (F_{2^{n-1}-1}/F_{2^{n-1}} - F_{2^n-1}/F_{2^n}).
> 
> Que se "telescopia" a   S_n = 3 - F_{2^n-1}/F_{2^n}.
> 
> E como lim F_{n-1}/F_n = (sqrt5 - 1)/2 ,
> 
> S = 3 - (sqrt5 - 1)/2 = (7 - sqrt5)/2.
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
> -----Mensagem Original-----
> De: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: sábado, 12 de abril de 2003 15:41
> Assunto: Re: [obm-l] Fibonacci
> 
> 
>> Oi, Marcio:
>> 
>> Mesmo o problema de se achar:
>> S = SOMA(n>=0) 1/F(2^n)
>> esta' longe de ser trivial.
>> 
>> Eu sei que S = 4 - A, onde A = (1 + raiz(5))/2, ou seja,
>> S = (7 - raiz(5))/2.
>> 
>> Acho que a formula: F(2k) = [F(k+1) + F(k-1)]*F(k) deve entrar em algum
>> lugar na demonstracao e, de algum jeito, a restricao as potencias de 2
> deve
>> fazer aparecer alguma PG cuja soma eh S.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
> 

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