Re: [obm-l] Problemas em Aberto III

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>21) (CHINA) 10 pessoas chegaram a uma livraria. Sabe-se que :
>
>A) Todos as pessoas compraram livros de 3 disciplinas
>B) Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma disciplina sobre a =
>qual=20
>ambas compraram livros.
>
>Enumerando-se as disciplinas sobre as quais ha livros na livraria, seja =
>M(i)=20
>o numero de pessoas que compraram livros da disciplina "i". Qual e o =
>menor=20
>valor positivo possivel para o MAXIMO de {M(1), M(2), ... } ?
>

   Cada pessoa comprou livros de 3 disciplinas. Se M(j)<=4 para todo j, dada
uma pessoa, cada disciplina foi comprada por exatamente 3 outras pessoas
(pois ha' 10 pessoas no total),
e em particular a intersecao de duas pessoas e' exatamente uma disciplina, e
M(j)=4 para todo j. Mas isso nao pode acontecer, pois nesse caso a soma dos
M(j) seria multiplo de 4, e tambem deve ser igual a soma dos numeros de
livros comprados pelas 10 pessoas, que e' 30.
Assim, o menor valor possivel para o maximo dos M(j) e' 5, e isso e'
possivel, como mostram os seguintes 10 conjuntos de disciplinas (obtidos
escolhendo metade dos C(6,3)=20 subconjuntos de 3 elementos de um conjunto
de 6 disciplinas de modo que dado A com tres elementos, ou A ou seu
complementar aparece na lista):
{1,2,3},{3,5,6},{1,2,5},{3,4,5},{2,3,4},{1,4,5},{1,4,6},{1,3,6},{2,4,6} e
{2,5,6}.

>**************
>
>26) Ache todos os pares (x,y) de inteiros positivos tais que
>z=3D( 9*x^2 + 50*x*y + 9*y^2)^1/2 seja tamb=E9m um n=FAmero=20
>inteiro.
>

   Vamos achar as solucoes racionais de 9x^2+50xy+9y^2=z^2 com y nao nulo
(se y=0 entao z=3x ou z=-3x): dividindo por y^2 e fazendo u=x/y e v=z/y
obtemos 9u^2+50u+9=v^2, ou (9u+25)^2-(3v)^2=644, ou
(9u+25-3v)(9u+25+3v)=544. Sendo 9u+25-3v=2t, temos 9u+25+3v=272/t, e logo
9u+25=t+136/t e 3v=136/t-t. Fazendo t=p/q, obtemos finalmente
z/y=v=(136q^2-p^2)/3pq e x/y=u=(p^2-25pq+136q^2)/9pq=(p-8q)(p-17q)/9pq.
Assim, para a solucao inteira geral, teremos x=(k/d).(p-8q)(p-17q),
y=(k/d).9pq e z=(k/d).3(136q^2-p^2), onde podemos tomar p e q inteiros com
q>0 e mdc(p,q)=1, k e' um inteiro qualquer e d=mdc((p-8q)(p-17q),9pq)=
=mdc(p+q,3)^2.mdc(p,136). Como queremos x e y inteiros positivos, devemos
tomar k positivo, p positivo, p>17q ou p<8q. Por exemplo, a solucao
x=4,y=5,z=37 e' obtida tomando p=5,q=1,d=9 e k=1, enquanto a solucao 
x=5,y=4,z=37 e' obtida tomando p=17, q=4, d=153 e k=1.

    Abracos,
             Gugu  
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