Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II

[=?windows-1252?q?F=E1bio=20Dias=20Moreira?= <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
Hash: SHA1

On Monday 31 March 2003 15:38, Cláudio (Prática) wrote:
> 8) Dois jogadores estão jogando em um tabuleiro
> infinito, que consiste de quadradinhos 1x1. O jogador 1
> escolhe um quadrado e marca nele um 0. Então o jogador 2
> escolhe outro quadrado e marca um X, e assim por diante.
> O jogo termina quando alguns dos jogadores completar em
> uma linha ou uma coluna 5 quadrados consecutivos,
> marcados por ele. Se nenhum dos jogadores conseguir, o
> jogo acaba empatato. Prove que o jogador 2 pode impedir
> o jogador 1 de vencer.(Israel/95).
> [...]

8)
Ladrilhe o plano da seguinte maneira:

ABCC
ABDD
EEGH
FFGH

Quando seu oponente jogar em um quadrado, jogue no quadrado de mesma letra. 
Obviamente, qualquer linha ou coluna de 5 contém um dominó inteiro, logo não 
pode ser preenchida por marcas de um jogador.

> [...]
> 17)
> a) Ao escrevermos a fração 1/3^2002 como um número decimal, obtemos uma
> dízima periódica. Qual o número de algarismos da período? b) Existe algum
> inteiro positivo n tal que 1/3^n é uma dízima periódica cujo período tem um
> número par de algarismos?
> [...]

17)
    a)
O conjunto formados pelos invertíveis módulo 3^2002 que são congruentes a 1 
módulo 9 é invariante por uma multiplicação por 10. Esse conjunto tem 
\phi(3^2002)/\phi(9) = 3^2000 elementos. Seja P o produto de todos os seus 
elementos. Então

P === 10^(3^2000)*P (mod 3^2002)
10^(3^2000) === 1 (mod 3^2002)

Logo a ordem de 10 (mod 3^2002) divide 3^2000. Como a ordem de 10 (mod 3^2002) 
é o número de elementos do menor conjunto invariante por uma multiplicação 
por 10, mas como 10 !== 1 (mod 27), não existem conjuntos com 
\phi(3^2002)/\phi(27) === 3^1999 elementos. Logo a ordem de 10 (mod 3^2002) é 
mesmo 3^2000, *logo o período de 1/3^2002 é 3^2000*.

    b)
Não. Seja K = {x | x é invertível (mod 3^n) e x === 1 (mod 9)}. É óbvio que 
10K = K. Se P é o produto dos elementos de K, então

P === 10^(#(K))*P (mod 3^n)
10^(#(K)) === 1 (mod 3^n)
ord_3^2002(10) | #(K) = \phi(3^n)/\phi(9) = 3^(n-2)

Mas 2 | ord_3^2002(10) <=> 2 | 3^(n-2), *absurdo*. Logo 1/3^n sempre tem 
período ímpar (em particular, seu período sempre é uma potência de três).

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-----BEGIN PGP SIGNATURE-----
Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux)
Comment: For info see http://www.gnupg.org

iD8DBQE+iNnmalOQFrvzGQoRAopiAKCnIycHoC8alkkUs3Rs40pYdFi3oACcDmo+
aegviRKBOA7fJIQz24jyDWk=
=+m/H
-----END PGP SIGNATURE-----

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================