Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II

["Wagner" <timpa@xxxxxxxxxx>]

Oi para todos!

Isso também é a prova das 2 hipóteses que eu sugeri para resolver o problema
(Mas essas hipóteses não eram suficientes para chegar na resposta, já que a
resposta poderia ser 3^2000 ou 3^2001)

André T.



> > 17)
> > a) Ao escrevermos a fração 1/3^2002 como um número decimal, obtemos uma
> > dízima periódica. Qual o número de algarismos da período? b) Existe
algum
> > inteiro positivo n tal que 1/3^n é uma dízima periódica cujo período tem
um
> > número par de algarismos?
> > [...]
>
> 17)
>     a)
> O conjunto formados pelos invertíveis módulo 3^2002 que são congruentes a
1
> módulo 9 é invariante por uma multiplicação por 10. Esse conjunto tem
> \phi(3^2002)/\phi(9) = 3^2000 elementos. Seja P o produto de todos os seus
> elementos. Então
>
> P === 10^(3^2000)*P (mod 3^2002)
> 10^(3^2000) === 1 (mod 3^2002)
>
> Logo a ordem de 10 (mod 3^2002) divide 3^2000. Como a ordem de 10 (mod
3^2002)
> é o número de elementos do menor conjunto invariante por uma multiplicação
> por 10, mas como 10 !== 1 (mod 27), não existem conjuntos com
> \phi(3^2002)/\phi(27) === 3^1999 elementos. Logo a ordem de 10 (mod
3^2002) é
> mesmo 3^2000, *logo o período de 1/3^2002 é 3^2000*.
>
>     b)
> Não. Seja K = {x | x é invertível (mod 3^n) e x === 1 (mod 9)}. É óbvio
que
> 10K = K. Se P é o produto dos elementos de K, então
>
> P === 10^(#(K))*P (mod 3^n)
> 10^(#(K)) === 1 (mod 3^n)
> ord_3^2002(10) | #(K) = \phi(3^n)/\phi(9) = 3^(n-2)
>
> Mas 2 | ord_3^2002(10) <=> 2 | 3^(n-2), *absurdo*. Logo 1/3^n sempre tem
> período ímpar (em particular, seu período sempre é uma potência de três).
>
> []s,
>
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> Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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