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8) Dois jogadores estão jogando em um tabuleiro
infinito, que consiste de quadradinhos 1x1. O jogador 1 escolhe um quadrado e marca nele um 0. Então o jogador 2 escolhe outro quadrado e marca um X, e assim por diante. O jogo termina quando alguns dos jogadores completar em uma linha ou uma coluna 5 quadrados consecutivos, marcados por ele. Se nenhum dos jogadores conseguir, o jogo acaba empatato. Prove que o jogador 2 pode impedir o jogador 1 de vencer.(Israel/95). *****
9)Prove, para todo número real positivo x,y,z, a seguinte inequação: (xy+yz+zx)*[1/(x+y)² + 1/(y+z)² + 1/(z+x)²]>=1/4. *****
10)Resolva o sistema de equações: i)raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=2 ii)raiz(7y)*[1-1/(x+y)]=4*raiz(2) *****
11) Seja a,b,c,d 4 números reais não negativos que satisfazem a condição 2*(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16. Prove que a+b+c+d>=2/3*(ab+ac+ad+bc+bd+cd) e determine o caso de igualdade. *****
12)Seja m e n inteiros positivos tal que n=<m. Prove que (2^n)*n!=< (m+n)!/(m-n)! =<(m²+m)^n. *****
13) Seja a,b e c medidas dos lados de um triângulo. Prove que: raiz(a+b-c)+raiz(b+c-a)+raiz(c+a-b)=<raiz(a) +raiz(b)+raiz(c) *****
14)Demonstrar que para quaisquer valores real e x, y e z é válida a desigualdade 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y²z²>=0 *****
15) Se a^(b^c) = b^d , c/d pode ser dado em função de a e b ? *****
16) Seja a funçao f:N*U{0} ->N*U{0} dada pelas
propriedades:(f(2n+1))²-(f(2n))²=6f(n)+1 e f(2n)>=f(n) para todo n
natural.Ache #{x elemento de N,f(x)<2003}.
(A solução desse vale um doce - cortesia do Dirichlet!)
*****
17)
a) Ao escrevermos a fração 1/3^2002 como um número decimal, obtemos uma
dízima periódica. Qual o número de algarismos da período?
b) Existe algum inteiro positivo n tal que 1/3^n é uma dízima periódica
cujo período tem um número par de algarismos?
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Se alguém se lembrar de algum problema que eu não mencionei, por favor
mande-o para a lista.
Um abraço,
Claudio.
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