[obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Esse e o Helder Toshiro que conheço!!!!!!!So devo dizer uma coisa:esse resultado
nao e rigoroso,e a demonstraçao "real" disso ai consiste em considerar os
pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente
2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si
quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos.
A densidade desse conjunto seria o porcentual de espaço que ele ocupa em
relaçao aos outros.Demonstrando que a densidade e 
6/(pi)² acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpretaçao.

-- Mensagem original --

>on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at heldersuzuki@yahoo.com.br wrote:
>
>> Se dois números naturais e distintos são escolhidos
>> aleatoriamente, prove que a chance de esses números
>> não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2?
>> 
>
>Caro Helder:
>
>Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido.
>
>Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade
de
>A
>e B serem ambos multiplos de p.
>
>Assim, P(p) = 1/p^2 e
>1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator primo
>p
>em comum.
>
>A partir disso, concluimos que:
>P(A e B primos entre si) =
>
>(1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... =
>
>PRODUTORIO (1 - P(p)) =
> p primo 
>
>PRODUTORIO (1 - 1/p^2)
> p primo
>
>Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo < 1), teremos:
>1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... )
>
>Assim,
>PRODUTORIO (1 - 1/p^2) =
> p primo
>
>= 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
>       p primo
>
>Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a:
>infinito
>SOMATORIO 1/n^2
>  n = 1
>
>pois se a decomposicao de n em fatores primos eh:
>
>n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao:
>
>1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak)
>
>e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de
>PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
> p primo
>
>Alem disso, o valor de:
>infinito
>SOMATORIO 1/n^2
>  n = 1
>eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por
>exemplo)
>
>Logo,
>PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6
> p primo
>
>e, portanto,
>P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2.
>
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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