Re: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, JP e Helder:

Mas não é verdade que o ponto (m,n) é visível a partir da origem se e
somente se mdc(m,n) = 1?

Depois, como você define densidade do conjunto de pontos visíveis?
Eu acho que tem que ser o limite de algum quociente do tipo:
#(pontos visíveis pertencentes a um conjunto A) / #(pontos de A)
onde A é algo como um disco contendo a origem e cujo raio tende a infinito.
Ou seja, bem parecido com a definição de probabilidade como o limite de uma
frequência relativa.

Assim, eu acho que se a interpretação probabilística não for rigorosa, a
interpretação como densidade também não será.

Será que alguém na lista pode formalizar este problema?

Um abraço,
Claudio.


----- Original Message -----
From: <peterdirichlet1985@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, March 27, 2003 1:14 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2


> Esse e o Helder Toshiro que conheço!!!!!!!So devo dizer uma coisa:esse
resultado
> nao e rigoroso,e a demonstraçao "real" disso ai consiste em considerar os
> pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente
> 2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si
> quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos.
> A densidade desse conjunto seria o porcentual de espaço que ele ocupa em
> relaçao aos outros.Demonstrando que a densidade e
> 6/(pi)² acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpretaçao.
>
> -- Mensagem original --
>
> >on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at heldersuzuki@yahoo.com.br wrote:
> >
> >> Se dois números naturais e distintos são escolhidos
> >> aleatoriamente, prove que a chance de esses números
> >> não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2?
> >>
> >
> >Caro Helder:
> >
> >Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido.
> >
> >Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade
> de
> >A
> >e B serem ambos multiplos de p.
> >
> >Assim, P(p) = 1/p^2 e
> >1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator
primo
> >p
> >em comum.
> >
> >A partir disso, concluimos que:
> >P(A e B primos entre si) =
> >
> >(1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... =
> >
> >PRODUTORIO (1 - P(p)) =
> > p primo
> >
> >PRODUTORIO (1 - 1/p^2)
> > p primo
> >
> >Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo < 1),
teremos:
> >1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... )
> >
> >Assim,
> >PRODUTORIO (1 - 1/p^2) =
> > p primo
> >
> >= 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
> >       p primo
> >
> >Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a:
> >infinito
> >SOMATORIO 1/n^2
> >  n = 1
> >
> >pois se a decomposicao de n em fatores primos eh:
> >
> >n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao:
> >
> >1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak)
> >
> >e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de
> >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
> > p primo
> >
> >Alem disso, o valor de:
> >infinito
> >SOMATORIO 1/n^2
> >  n = 1
> >eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por
> >exemplo)
> >
> >Logo,
> >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6
> > p primo
> >
> >e, portanto,
> >P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2.
> >
> >
> >Um abraco,
> >Claudio.
> >
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