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Re: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2
Caro Claudio,
A interpretacao mais usual e' tomar A igual a um quadrado (como
{m,n inteiros | 1<=m,n<=N}). O argumento do Claudio Buffara pode ser
formalizado. Ai vai outro: o problema, nesse caso e' equivalente a estimar o
numero de pares (m,n) com mdc(m,n)=1 e 1<=m<=n<=N (isso vai ser essencialmente
a metade de #(pontos visiveis pertencentes ao conjunto A). Nosso problema
agora e' estimar soma(n=1 ate' N)(phi(n))=
=soma(n=1 ate' N)(soma(d divide n)(mu(d).n/d))=
=soma(d=1 ate' N)(mu(d).soma(j=1 ate' [N/d])(j))=
=soma(d=1 ate' N)(mu(d).[N/d].([N/d]+1)/2=
=N^2.soma(d=1 ate' N)(mu(d)/d^2)/2+O(N.log(N))=
=N^2.soma(d=1 ate' infinito)(mu(d)/d^2)/2+O(N.log(N))=
=(3/Pi^2).N^2+O(N.log(N)), o que prova o resultado (para ver que
soma(d=1 ate' infinito)(mu(d)/d^2)=6/Pi^2, basta ver que
soma(d=1 ate' infinito)(mu(d)/d^2).soma(d=1 ate' infinito)(1/d^2)=
=soma(m=1 ate' infinito)((soma(d divide m)(mu(d))/m^2)=1).
Essa estimativa tambem da' o mesmo limite para outras escolhas de A, como
os seus quartos de disco, com um pouco mais de trabalho (por exemplo
aproximando A por unioes de retangulos, como no calculo de integrais de
Riemann)...
Abracos,
Gugu
>
>Oi, JP e Helder:
>
>Mas não é verdade que o ponto (m,n) é visível a partir da origem se e
>somente se mdc(m,n) = 1?
>
>Depois, como você define densidade do conjunto de pontos visíveis?
>Eu acho que tem que ser o limite de algum quociente do tipo:
>#(pontos visíveis pertencentes a um conjunto A) / #(pontos de A)
>onde A é algo como um disco contendo a origem e cujo raio tende a infinito.
>Ou seja, bem parecido com a definição de probabilidade como o limite de uma
>frequência relativa.
>
>Assim, eu acho que se a interpretação probabilística não for rigorosa, a
>interpretação como densidade também não será.
>
>Será que alguém na lista pode formalizar este problema?
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>----- Original Message -----
>From: <peterdirichlet1985@zipmail.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Thursday, March 27, 2003 1:14 PM
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 6/pi^2
>
>
>> Esse e o Helder Toshiro que conheço!!!!!!!So devo dizer uma coisa:esse
>resultado
>> nao e rigoroso,e a demonstraçao "real" disso ai consiste em considerar os
>> pontos visiveis da origem do reticulado N*N e sua densidade.Basicamente
>> 2 pontos quaisquer desse reticulado infinito sao ditos visiveis entre si
>> quando o segmento reto que os liga nao contem outro ponto alem dos ditos.
>> A densidade desse conjunto seria o porcentual de espaço que ele ocupa em
>> relaçao aos outros.Demonstrando que a densidade e
>> 6/(pi)² acaba.Grosso modo a probabilidade e so uma interpretaçao.
>>
>> -- Mensagem original --
>>
>> >on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at heldersuzuki@yahoo.com.br wrote:
>> >
>> >> Se dois números naturais e distintos são escolhidos
>> >> aleatoriamente, prove que a chance de esses números
>> >> não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2?
>> >>
>> >
>> >Caro Helder:
>> >
>> >Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido.
>> >
>> >Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade
>> de
>> >A
>> >e B serem ambos multiplos de p.
>> >
>> >Assim, P(p) = 1/p^2 e
>> >1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator
>primo
>> >p
>> >em comum.
>> >
>> >A partir disso, concluimos que:
>> >P(A e B primos entre si) =
>> >
>> >(1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... =
>> >
>> >PRODUTORIO (1 - P(p)) =
>> > p primo
>> >
>> >PRODUTORIO (1 - 1/p^2)
>> > p primo
>> >
>> >Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo < 1),
>teremos:
>> >1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... )
>> >
>> >Assim,
>> >PRODUTORIO (1 - 1/p^2) =
>> > p primo
>> >
>> >= 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
>> > p primo
>> >
>> >Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a:
>> >infinito
>> >SOMATORIO 1/n^2
>> > n = 1
>> >
>> >pois se a decomposicao de n em fatores primos eh:
>> >
>> >n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao:
>> >
>> >1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak)
>> >
>> >e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de
>> >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
>> > p primo
>> >
>> >Alem disso, o valor de:
>> >infinito
>> >SOMATORIO 1/n^2
>> > n = 1
>> >eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por
>> >exemplo)
>> >
>> >Logo,
>> >PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6
>> > p primo
>> >
>> >e, portanto,
>> >P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2.
>> >
>> >
>> >Um abraco,
>> >Claudio.
>> >
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