Estou começando a estudar essas coisas por agora, então tambem sou meio leigo. Estou usando o livro Elements of integration (Bartle) e tambem Medida e Integração (Pedro Fernandez - Projeto Euclides). o primeiro livro, to achando melhor e pra começar a estudar basta análise na Reta e um pouco de topologia.
A idéia é mais o menos como vc disse, sendo f: W -> R onde W é um conjunto "complicado" de se trabalhar,mas vc conhece o coneito de medida em W então pode-se calcular integral de lebesgue dessa função.
E vale o seguinte: Se uma função é Riemann integravel então ela tb é Lebesgue integrável e essas integrais coincidem. Porem o conjunto das lebesgue integravel é maior que as de riemann integravel. Por exemplo a funcao de Dirichlet: vale 0 nos racionais e 1 nos irracionais é lebesgue integravel mas nao é Riemann integravel.
Outra coisa (esse é fortíssimo) definindo medida de subconjuntos da Reta por:
- uma funcao que leva o vazio no 0; - medida de alguem é sempre positiva;
- medida da uniao disjunta é soma das medidas
Acho que tem uma outra, mas nao me lembro qual, de todo jeito, medida é algo como massa, volume, comprimento. Vale que: existem subconjuntos da reta que não sao mensuraveis (podem ser medidos).
Naqueles que sao mensuraveis, vc pode definir uma estrutura algebrica. E nessa estrutura a reta se torna um conjunto compacto (O quê ?? Ai meu jesus cristin...) o pior é que vc vai ver que essas coisas fazem sentido na teoria. Daqui uns dias quando aprender mais, volto a falar.
Henrique Branco <hpsbranco@superig.com.br> wrote: