Re: [obm-l] 6/pi^2

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 26.03.03 23:16, Helder Suzuki at heldersuzuki@yahoo.com.br wrote:

> Se dois números naturais e distintos são escolhidos
> aleatoriamente, prove que a chance de esses números
> não terem nenhum fator em comum é 6/pi^2?
> 

Caro Helder:

Esse eh um resultado interessante, apesar de ser bem conhecido.

Dados os numeros A e B, para cada primo p chame de P(p) a probabilidade de A
e B serem ambos multiplos de p.

Assim, P(p) = 1/p^2 e
1 - P(p) = 1 - 1/p^2 = probabilidade de que A e B nao tenham o fator primo p
em comum.

A partir disso, concluimos que:
P(A e B primos entre si) =

(1 - P(2))*(1 - P(3))*(1 - P(5))*(1 - P(7))*... =

PRODUTORIO (1 - P(p)) =
 p primo 

PRODUTORIO (1 - 1/p^2)
 p primo

Pela formula da soma de uma PG infinita (com razao de modulo < 1), teremos:
1 - 1/p^2 = 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + ... )

Assim,
PRODUTORIO (1 - 1/p^2) =
 p primo

= 1 / PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
       p primo

Mas o produtorio no denominador eh justamente igual a:
infinito
SOMATORIO 1/n^2
  n = 1

pois se a decomposicao de n em fatores primos eh:

n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, entao:

1/n^2 = 1/p1^(2*a1) * 1/p2^(2*a2) * ... * 1/pk^(2*ak)

e o membro da direita aparece exatamente uma vez no desenvolvimento de
PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... )
 p primo

Alem disso, o valor de:
infinito
SOMATORIO 1/n^2
  n = 1
eh justamente Pi^2/6 (isso pode ser provado via series de Fourier, por
exemplo)

Logo,
PRODUTORIO (1 + 1/p^2 + 1/p^4 + ... ) = Pi^2/6
 p primo

e, portanto,
P(A e B primos etre si) = 1/PRODUTORIO = 6/Pi^2.


Um abraco,
Claudio.











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