Re: [obm-l] Problemas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> 5°)Prove que 1-log2 [cos²(2xy) + 1/cos²(2xy)] >= (1 +
> 1/xy)² vale para qualquer x,y pertencente aos reais.
> (Croácia 2002)
> Obs: log2 x é log de x na base 2.
>
A desigualdade está invertida. O que é verdade em geral é que:
1 - log2[cos^2(2xy) + 1/cos^2(2xy)] <= (1 + 1/(xy))^2

Também devemos restringir os valores de x e y de forma que:
A) xy <> 0 ==> x <> 0 e y <> 0
B) cos(2xy) <> 0 ==> xy <> (2k+1)Pi/4, onde k é inteiro.

Com estas restrições em mente, façamos 1/xy = u.

Então:
i) cos^2(2/u) + 1/cos^2(2/u) >= 2 qualquer que seja u real com cos(2/u) <>
0.
Dem:
Fazendo cos(2/u) = a, teremos:
(a^2 - 1)^2 >= 0 ==>
a^4 - 2a^2 + 1 >= 0 ==>
a^4 + 1 >= 2a^2 ==>
a^2 + 1/a^2 >= 2 ==>
cos^2(2/u) + 1/cos^2(2/u) >= 2
-----
Logo, log2[cos^(2/u) + 1/cos^2(2/u)] >= log2(2) = 1  (i)

ii) Por outro lado, é óbvio que
1 - (1 + u)^2 <= 1, para todo u real (ii)

(i) e (ii) ==>
log2[cos^(2/u) + 1/cos^2(2/u)] >= 1 - (1 + u)^2 ==>
log2[cos^2(2xy) + 1/cos^2(2xy)] >= 1 - (1 + 1/(xy))^2 ==>
1 -  log2[cos^2(2xy) + 1/cos^2(2xy)] <= (1 + 1/(xy))^2

Um abraço,
Claudio.

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