[obm-l] Problemas

["basketboy_igor" <basketboy_igor@xxxxxxxxxx>]

1°(I)Prove, para todo número real positivo x,y,z, a 
seguinte inequação: 
(xy+yz+zx)*[1/(x+y)² + 1/(y+z)² + 1/(z+x)²]>=1/4.

2°(II)Prove, para todo inteiro positivo n, que
(2^1/2)*(4^1/4)*..*[(2 ^n)^1/(2^n)] <4

3°(III)Prove que 2*sen(2°)+4sen(4°)+...+178*sen(178°)= 
90*cotg(1°).

4°(IV)Resolva o sistema de equações:
 i)raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=2
ii)raiz(7y)*[1-1/(x+y)]=4*raiz(2)

5°(V) Seja a,b,c,d 4 números reais não negativos que 
satisfazem a condição 
2*(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16.
Prove que a+b+c+d>=2/3*(ab+ac+ad+bc+bd+cd) e determine o 
caso de igualdade.

6°(VI)Seka m e n inteiros positivos tal que n=<m. Prove 
que (2^n)*n!=< (m+n)!/(m-n)! =<(m²+m)^n.

7°(VII) Seja a,b e c medidas dos lados de um triângulo. 
Prove que: raiz(a+b-c)+raiz(b+c-a)+raiz(c+a-b)=<raiz(a)
+raiz(b)+raiz(c)

8°(VIII) Demonstrar que para qualquer valor inteiro e 
positivo de m
1/2² + 1/3² + ... + 1/n² < (n-1)/n

9°(IX)Demonstrar que para quaisquer valores real e x, y 
e z é válida a desigualdade
4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y²z²>=0

10°(X)(IMO/1987) O prolongamento da bissetriz AL do 
triângulo acutângulo ABC encontra o círculo circunscrito 
em N. Por L traçam-se perpendiculares LK e LM aos lados 
AB e AC, respectivamente. Prove que a área do triângulo 
ABC é igual à área do quadrilátero AKMN.

11°(XI)
Sejam a,b,c as raízes da equação x³=x²+x+1. Prove que
(a^1995-b^1995)/(a-b) + (b^1995-c^1995)/(b-c) + (c^1995-
a^1995)/(c-a) é inteiro.

12°(XII)
SEndo a,b,c racionais distintos, prove que 
1/(a-b)² + 1/(b-c)² + 1/(c-a)² é sempre o quadrado de um 
número racional.

The End.

 
__________________________________________________________________________
E-mail Premium BOL
Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!
http://email.bol.com.br/


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================