[obm-l] 2ª Vingança Olimpica-Prova

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Turma,com voces a prova da 2ª Vingança Olimpica.Talvez em formato de e-mail
tenha ficado horroroso mas e a vida:)Senhoras e senhores,com voces a...


                      II VINGANÇA OLIMPICA


                      19 de Janeiro de 2003

A duraçao da prova e de 4 horas e meia.A sua pontuaçao e baseada nos quatro
problemas em que voce atingir a maior pontuaçao.Note que os proiblemas possuem
diferentes pontuaçoes.

1)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo e k sua circunferencia circunscrita.
D e o ponto medio do arco BC que nao contem A;
E e a intersecçao da mediatriz de BD com BC,F e a intersecçao da paralela
a AB por D com AC,G e a intersecçao de EF com AB e H a de GD com AC.Mostre
que o triangulo AGH e isosceles.[3]

2)(Alex Abreu)Defina a sequencia
x(1) natural e
x(n+1)=1+(x(1)x(2)x(3)...x(n)).
Prove que existe um primo p que nao divide ninguem da sequencia acima.[4]

3)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo com BAC=60º.Seja A' o simetrico de A
em relaçao a BC,D o ponto do segmento AC tal que AB=AD e H o ortocentro
de ABC.Se b e a bissetriz externa do angulo BAC e M e N sao os pontos onde
as retas A'D e CH cortam b respectivamente,mostre que AM=AN.[4]

4)(Telmo Luis)Definimos uma represa e sua barreira como um par de conjuntos
finitos A e B de pontos do reticulado,sendo A conexo pela relaçao de vizinhança
dada por |a-b|=1 tais que dado um elemento a de A,para qualquer x do reticulado
com |a-x|=1 temos que x e um elemento de A ou de B.Dado #B=K ache o maior
valor que #A pode assumir.[5]

5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairro
como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a Cledmilson
Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para
cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha
tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças.Da mesma
forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais,sendo
que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui igualmente
entre as p crianças.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de crianças
desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada
tipo de doce roubada seja inteira?[6]

6)(Alex Abreu)Ache todas as funçoes f:R/{0}->R sem pontos fixos tais que
f(y(f(x)-x))=f(x)/y-f(y)/x para todos os x,y nao-nulos.[6]

7)(Humberto Naves)Seja X um subconjunto de R com m elementos positivos.Determine
X tal que maximize o numero de subconjuntos de X de mesma soma.[8]

Divirtam-se e mandem suas soluçoes(se tiverem paciencia!)!!!
Ass.:Johann


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