[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Tenta no site da Bulgaria ou esperem publicar na Eureka!

-- Mensagem original --

>Caro Korshinoi:
>
>Eu fiz alguma coisa na primeira.
>
>----- Original Message -----
>From: <Korshinoi@aol.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:00 AM
>Subject: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
>
>
>> 1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de
seus
>divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2.
>
>(n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 ==>
>soma dos quadrados dos divisores próprios de n = SQDP(n) = 6n + 9
>
>n tem 1 divisor próprio ==>
>n é primo e SQDP(n) = 1^2 = 1 < 6*n + 9
>
>n tem 2 divisores próprios ==>
>n = p^2 (p: primo) e SQDP(n) = 1 + p^2 < 6p^2 + 9
>
>n tem 3 divisores próprios ==>
>n = p^3 ou n = pq (p,q: primos distintos)
>n = p^3 ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + p^4 = 6p^3 + 9 ==>
>p^4 - 6p^3 + p^2 - 8 = 0 ==> não tem raízes inteiras
>
>n = pq ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + q^2 = 6pq + 9 ==>
>q^2 - (6p)q + (p^2 - 8) = 0 ==>
>q = 3p  +/-  2*raiz(2p^2 + 2)
>por inspeção (eufemismo para "no braço") verificamos que o menor primo
p
>tal
>que raiz(2p^2 + 2) é inteiro é p = 7 ==>
>raiz(2*7^2+2) = 10 ==>
>q = 3*7 +/- 2*10 ==>
>q = 1 (não é primo) ou q = 41 ==>
>q = 41 ==>
>n = p*q = 7*41 = 287
>
>Checando:
>1^2 + 7^2 + 41^2 + 287^2 = 84.100 = (287 + 3)^2
>
>Agora, temos que ter certeza de que nenhum n inferior a 287 tem SQDP(n)
=
>6n
>+ 9 ou então achar um tal n, mas eu tou meio sem idéias e sem saco de checar
>"por inspeção", apesar de que podemos eliminar os casos em que n é primo
>ou
>quadrado de primo ou produto de dois primos distintos.
>
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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