[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Korshinói:

Aqui vai minha solução para o seu outro problema:

"Determine todos os inteiros x e y que satisfazem à equação
x^3+9xy+127=y^3. "

Ela é longa e deselegante, mas acho que está certa.

A idéia é achar uma relação do tipo y = x + a, para algum a inteiro, que
facilite a resolução.

Inicialmente, reescrevemos a equação como uma diferença de cubos e reduzimos
mod 3:

y^3 - x^3 = 9xy + 127 = 9*(xy + 14) + 1 ==>
y^3 - x^3 = 1 (mod 3) ==>
y - x = 1 (mod 3) ==>
y = x + 3m + 1 para algum inteiro m

Substituindo y = x + 3m + 1 em:
(y - x)(y^2 + xy + x^2) = 9xy + 127
obtemos:
(3m+1)(x^2 + 2(3m+1)x + (3m+1)^2 + x(x+3m+1) + x^2) = 9x(x+3m+1) + 127 ==>
(3m+1)(3x^2 + 3(3m+1)x + (3m+1)^2) = 9x^2 + 9(3m+1)x + 127 ==>
(3(3m+1) - 9)x^2 + (3(3m+1)^2 - 9(3m+1))x + (3m+1)^3 - 127 = 0 ==>
x^2 + (3m+1)x + [(3m+1)^3 - 127]/[3(3m+1) - 9] = 0  (***) ==>

Como x^2 e (3m+1)x são inteiros, temos que ter, necessariamente:
[3(3m+1) - 9] divide [(3m+1)^3 - 127]

Mas:
3(3m+1) - 9 = 3(3m-2)
e
(3m+1)^3 - 127 =
27m^3 + 27m^2 + 9m -126 =
9(3m^3 + 3m^2 + m - 14)

Levando em conta que 3m-2 é primo com 3, concluímos que:
3m-2 divide (3m^3 + 3m^2 + m - 14)

Agora, mediante divisões sucessivas de polinômios em m, vamos tentar achar
os valores de m para os quais a divisibilidade ocorre:
A) 3m^3 + 3m^2 + m - 14 = (3m - 2)(m^2 + 5m/3 + 13/9) - 100/9 ==>
5m/3 + 13/9 - 100/(9(3m-2)) é inteiro ==>
(15m^2 + m - 14)/(3m-2) é inteiro ==>

B) 15m^2 + m - 14 = (3m - 2)(5m + 11/3) - 20/3 ==>
11/3 - 20/(3(3m-2)) é inteiro ==>
(11m - 14)/(3m - 2) é inteiro ==>
3 + (2m - 8)/(3m - 2) é inteiro ==>
3m - 2 divide 2m - 8

Ora, se 3m -2 divide 2m - 8, então |3m - 2| <= |2m - 8|.
Essa desigualdade de valores absolutos só ocorre para -6 <= m <= 2.
Testando estes valores, achamos que a condição de divisibilidade só é
satisfeita para m = -6, -1, 0, 1 ou 2.

Substituindo estes valores de m na equação (***) acima:
x^2 + (3m+1)x + [(3m+1)^3 - 127]/[3(3m+1) - 9] = 0,
chegaremos às seguintes 5 equações:

m = -6:  x^2 -17x + 84 = 0  ==> sem soluções inteiras
m = -1:  x^2 -2x + 9 = 0  ==>  sem soluções inteiras
m = 0:   x^2 + x + 21 = 0  ==> sem soluções inteiras
m = 1:   x^2 + 4x - 21 = 0  ==> soluções: x = 3 e x = -7
m = 2:   x^2 + 7x + 18 = 0  ==> sem soluções inteiras

Assim, somente m = 1 produz valores inteiros para x.
Os valores correspondentes de y (= x+3m+1 = x+4) serão:
x = 3 ==> y = 7
x = -7 ==> y = -3

Logo, as únicas soluções são (3,7) e (-7,-3).

Um abraço,
Claudio.

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