[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Korshinoi:

Eu fiz alguma coisa na primeira.

----- Original Message -----
From: <Korshinoi@aol.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:00 AM
Subject: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....


> 1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de seus
divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2.

(n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 ==>
soma dos quadrados dos divisores próprios de n = SQDP(n) = 6n + 9

n tem 1 divisor próprio ==>
n é primo e SQDP(n) = 1^2 = 1 < 6*n + 9

n tem 2 divisores próprios ==>
n = p^2 (p: primo) e SQDP(n) = 1 + p^2 < 6p^2 + 9

n tem 3 divisores próprios ==>
n = p^3 ou n = pq (p,q: primos distintos)
n = p^3 ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + p^4 = 6p^3 + 9 ==>
p^4 - 6p^3 + p^2 - 8 = 0 ==> não tem raízes inteiras

n = pq ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + q^2 = 6pq + 9 ==>
q^2 - (6p)q + (p^2 - 8) = 0 ==>
q = 3p  +/-  2*raiz(2p^2 + 2)
por inspeção (eufemismo para "no braço") verificamos que o menor primo p tal
que raiz(2p^2 + 2) é inteiro é p = 7 ==>
raiz(2*7^2+2) = 10 ==>
q = 3*7 +/- 2*10 ==>
q = 1 (não é primo) ou q = 41 ==>
q = 41 ==>
n = p*q = 7*41 = 287

Checando:
1^2 + 7^2 + 41^2 + 287^2 = 84.100 = (287 + 3)^2

Agora, temos que ter certeza de que nenhum n inferior a 287 tem SQDP(n) = 6n
+ 9 ou então achar um tal n, mas eu tou meio sem idéias e sem saco de checar
"por inspeção", apesar de que podemos eliminar os casos em que n é primo ou
quadrado de primo ou produto de dois primos distintos.


Um abraço,
Claudio.

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