Re: [obm-l] Numeros figurados

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Para o caso de triangulares e quadrangulares, teremos:
T(M) = M(M+1)/2
Q(N) = N^2

O problema é determinar todos os pares de naturais (M,N) tais que T(M) =
Q(N) ==>
M(M+1) = 2N^2

Fazendo a mudança de variáveis:
x = 2M + 1  e  y = 2N   ( M = (x-1)/2   e   N = y/2 ), teremos:

(x - 1)/2 * (x + 1)/2  =  y^2 / 2  ==>

x^2 - 1 = 2y^2  ==>

x^2 - 2y^2 = 1 ==> equação de Pell, que tem uma infinidade de soluções
(Xk,Yk), dadas pela fórmula::

Xk + Yk*raiz(2) = ( 3 + 2*raiz(2) )^k    k = 1,2,....
(vide artigo sobre Equações Diofantinas do Antonio Caminha Muniz Neto, na
Eureka no. 7)

De posse da fórmula geral para Xk e Yk, podemos obter os Mk's e Nk's
correspondentes:

Mk = (Xk + 1)/2  e  Nk = Yk/2 (naturalmente, desprezando aqueles que não
forem inteiros)

Um pouco de álgebra e devemos recair na fórmula fornecida pelo Luís (e
Eduardo Wagner) abaixo.

**************

Uma idéia semelhante deve funcionar para triangulares e pentagonais:

Neste caso:
T(M) = M(M+1)/2
P(N) = N(3N-1)/2

M(M+1) = N(3N-1)

Mudança de variáveis:
x = 2M + 1   e   y = 6N - 1   ( M = (x-1)/2  e  N = (y+1)/6 )

(x - 1)/2 * (x + 1)/2 = (y + 1)/6 * (y - 1)/2  ==>

(x^2 - 1)/4 = (y^2 - 1)/12  ==>

3x^2 - 3 = y^2 - 1 ==>

y^2 - 3x^2 = -2  ==> uma outra equação de Pell com uma infinidade de
soluções.

Soluções:
(1,1), (3,5), (11,19), (41,71), (153,265), (571,989), ....

Os pares (M,N) correspondentes são:
(0,1/3), (1,1), (5,10/3), (20,12), (76,133/3), (285,165)

Desprezando os pares não inteiros, temos as soluções:
M = 1, N = 1  ==> T = P = 1
M = 20, N = 12  ==>  T = P = 210
M = 285, N = 165  ==>  T = P = 40.755
.....

Imagino que haja uma infinidade de soluções, mas não tenho a prova.

Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, February 21, 2003 4:13 PM
Subject: Re: [obm-l] Numeros figurados


> Sauda,c~oes,
>
> Conheço uma solução para a_3 e a_4,
> mandada pelo Eduardo Wagner.
>
> Por acaso estou com a resposta aqui (não
> me peçam a solução):
>
> u_n = [ (17+12\sqrt2)^n + (17-12\sqrt2)^n - 2] / 32.
>
> Para calcular os termos talvez seja mais fácil
> escrever a recorrência que u_n satisfaz.
> Fica como exercício.
>
> Resultado já conhecido (original?) por Euler.
>
> Não conheço o problema desta mensagem.
>
> []'s
> Luís
>
>
> -----Mensagem Original-----
> De: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: sexta-feira, 21 de fevereiro de 2003 15:04
> Assunto: [obm-l] Numeros figurados
>
>
> > Ola Pessoal,
> >
> > Os termos da sequencia 1, 3, 6, 10, ..., (n(n+1))/2, ... sao chamados
> > NUMEROS TRIANGULARES, pois considerando cada termo uma quantidade de
> pontos,
> > e sempre possivel desenhar um triangulo com esta quantidade de pontos.
Ja
> os
> > termos da sequencia :
> >
> > 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ...
> >
> > Sao chamados NUMEROS QUADRANGULARES : considerando cada termo como uma
> > quantidade de pontos, e sempre possivel desenhar um quadrado com
qualquer
> > deles.
> >
> > Esse conceito pode ser extendido... Podemos falar em NUMEROS
PENTAGONAIS,
> > NUMEROS HEXAGONAIS, ETC. Se P e o numero de lados do poligono sobre
> > consideracao, os NUMEROS P-AGONAIS sao dados pela equacao :
> >
> > An = (N/2)*(2 + (N-1)(P-2))
> >
> > Um problema interessante - e que nao e facil, alerto ! -  e determinar
> quais
> > os numeros que pertencem a duas ( ou mais ) categorias dadas. Por
exemplo
> :
> >
> > PROBLEMA ) Quais sao os numeros naturais que sao simultaneamente
> > triangulares e pentagonais ?
> >
> > Um Abraco a Todos
> > Paulo Santa Rita
> > 6,1503,210203
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