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Seria a conjectura dual, certo?
A conjectura (de fato, teorema) original
é:
Se dois polígonos regulares têm o mesmo perímetro,
então aquele com o maior número de lados tem a maior área.
Da mesma forma, podemos conjecturar:
Se dois polígonos regulares têm a mesma área, então
aquele com o maior número de lados tem o menor perímetro.
LEMA:
Para 0 < x < Pi/2, temos: sen(x) <
x*sec(x).
DEM:
F(x) = x*sec(x) - sen(x) = x/cos(x) - sen(x) = [x -
sen(x)*cos(x)]/cos(x) =
[2x - 2*sen(x)*cos(x)]/[2*cos(x)] = [2x -
sen(2x)]/{2*cos(x)]
Mas para x em (0,Pi/2), temos sen(2x) < 2x e
cos(x) > 0. Logo F(x) > 0.
*************
Sejam "L" e "a" o lado e o apótema,
respectivamente, do polígono regular de n lados.
Teremos: L/(2a) = tg(Pi/n) ==> a =
(L/2)*ctg(Pi/n)
Área do Polígono = A = n*(1/2)*L*a =
n*(1/2)*L*(L/2)*ctg(Pi/n) = n*(L^2/4)*ctg(Pi/n)
Perímetro = P = n*L
Logo, P^2 = 4*A*n*tg(Pi/n)
dP^2 / dn = 4*A*[ tg(Pi/n) - (Pi/n)*sec^2(Pi/n)
] =
4*A*sec(Pi/n)*[ sen(Pi/n) - (Pi/n)*sec(Pi/n) ] <
0, pelo lema, com x = Pi/n (dado que n >= 3).
Logo, com A
constante, P^2 (e, portanto, P) é uma função decrescente de n, ou
seja:
Se dois polígonos regulares têm a mesma área, então
aquele com o maior número de lados tem o menor perímetro
PERGUNTA: Valem os dois resultados acima com
"convexos" no lugar de "regulares" ?
Um abraço,
Claudio.
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