Re: [obm-l] Tres belos problemas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Seguem abaixo minhas soluções para os 2 primeiros problemas:

> 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado
> unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do
triangulo,
> a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior
> que 7/2  ?
>
Imagino que você queira dizer círculo de RAIO unitário.

Qualquer reta tangente ao círculo divide o plano das figuras em dois
semi-planos.
Considere a porção do quadrado contida no semi-plano oposto àquele que
contém o círculo. A área da porção será máxima quando a reta fizer um ângulo
de 45 graus com os dois lados do quadrado por ela interceptados ==>
a porção será um pequeno triângulo retângulo isósceles de área =
(raiz(2)-1)^2 = 3 - 2raiz(2).

Imagine agora um triângulo isosceles tangente ao círculo e tal que sua base
seja perpendicular à diagonal do quadrado.
Quanto menor a base, maior a altura do triângulo e menor a área comum. No
limite, quando o triângulo degenera e os lados iguais tornam-se paralelos, a
área comum será igual à área do quadrado menos as áreas de 3 triângulos
retângulos isósceles tais como descrito acima ==> Área Comum = 4 -
3*(3-2raiz(2)) = 6raiz(2) - 5 ~ 3,48528.... > 17/5.

Excluindo o caso degenerado, podemos dizer que inf(Área Comum) = 6raiz(2) -
5, mas que o ínfimo nunca é atingido.

No entanto, podemos tornar os lados iguais longos o suficiente de forma que:
7/2 > Área Comum > 6raiz(2) - 5 > 17/2. Logo, é possível que Área Comum <
7/2.

Agora, só falta provar que qualquer outro triângulo tangente ao círculo
produzirá uma área comum > 6raiz(2) - 5.
Isso pode ser feito mais facilmente se tratarmos 2 casos separadamente:
Caso 1: Nenhum dos lados do triângulo tem o mesmo suporte que algum lado do
quadrado.
Nesse caso, a área comum será igual à área do quadrado menos as áreas de
três triângulos retângulos (não necessariamente isósceles), cuja soma será
menor que 3 - 2raiz(2) ==> área comum > 6raiz(2) - 5.

Caso 2: Um dos lados do triângulo contém um lado do quadrado.
Nesse caso, a área comum será igual à área do quadrado menos as áreas de
apenas dois triângulos retângulos. Assim, com mais razão ainda, teremos área
comum > 6raiz(2) - 5.

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> 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas
de
> 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao
> menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do
> mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.
>
Esquecendo, por enquanto, as idades, vamos classificar as pessoas quanto ao
sexo (2 possibilidades, mas posso estar sendo meio antiquado...) e à
nacionalidade (5 possibilidades). Logo, quanto a estes dois quesitos,
existem 2*5 = 10 tipos de pessoa.

Se houver no máximo 20 pessoas de cada tipo, então o número total de pessoas
será <= 20*10 = 200 ==> contradição, pois temos 201 pessoas ==> existe um
conjunto de pelo menos 21 pessoas tais que todas têm o mesmo sexo e a mesma
nacionalidade.

Vamos ordenar as 21 pessoas mais jovens deste conjunto em ordem crescente de
idade. Chamemo-las de:
A1, A2, ..., A21 (ordenação usual, ou seja, se i < j, então id(Ai) <=
(Aj)   -   id = idade).

Suponhamos que, neste grupo de 21 pessoas, haja no máximo 4 pessoas de uma
mesma idade. Formemos os seguintes subgrupos:
{A1,A2,A3,A4}
{A5,A6,A7,A8}
{A9,A10,A11,A12}
{A13,A14,A15,A16}
{A17,A18,A19,A20}
{A21}

Teremos então: id(A1) <= id(A5) <= id(A9) <= id(A13) <= id(A17) <= id(A21).

Além disso, como por hipótese no máximo 4 pessoas têm a mesma idade, as
desigualdades acima devem ser estritas (caso contrário, poderíamos ter, por
exemplo, id(A1) = id(A5), o que implicaria, por causa da ordenação, que A1,
A2, A3, A4 e A5 tivessem todos a mesma idade, contrariando a hipótese).

Logo: id(A1) < id(A5) < id(A9) < id(A13) < id(A17) < id(A21), ou seja, estas
seis pessoas têm idades distintas ==> contradição, pois em cada grupo de 6
pessoas sempre existem 2 com a mesma idade ==> existem pelo menos 5 pessoas
(dentre estas 21) com a mesma idade.

Logo, na reunião de 201 pessoas existem 5 pessoas com mesmo sexo, idade e
nacionalidade.

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Um abraço,
Claudio.

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