Re: [obm-l] Tres belos problemas

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Seguem abaixo minhas solu��es para os 2 primeiros problemas:

> 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado
> unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do
triangulo,
> a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior
> que 7/2  ?
>
Imagino que voc� queira dizer c�rculo de RAIO unit�rio.

Qualquer reta tangente ao c�rculo divide o plano das figuras em dois
semi-planos.
Considere a por��o do quadrado contida no semi-plano oposto �quele que
cont�m o c�rculo. A �rea da por��o ser� m�xima quando a reta fizer um �ngulo
de 45 graus com os dois lados do quadrado por ela interceptados ==>
a por��o ser� um pequeno tri�ngulo ret�ngulo is�sceles de �rea =
(raiz(2)-1)^2 = 3 - 2raiz(2).

Imagine agora um tri�ngulo isosceles tangente ao c�rculo e tal que sua base
seja perpendicular � diagonal do quadrado.
Quanto menor a base, maior a altura do tri�ngulo e menor a �rea comum. No
limite, quando o tri�ngulo degenera e os lados iguais tornam-se paralelos, a
�rea comum ser� igual � �rea do quadrado menos as �reas de 3 tri�ngulos
ret�ngulos is�sceles tais como descrito acima ==> �rea Comum = 4 -
3*(3-2raiz(2)) = 6raiz(2) - 5 ~ 3,48528.... > 17/5.

Excluindo o caso degenerado, podemos dizer que inf(�rea Comum) = 6raiz(2) -
5, mas que o �nfimo nunca � atingido.

No entanto, podemos tornar os lados iguais longos o suficiente de forma que:
7/2 > �rea Comum > 6raiz(2) - 5 > 17/2. Logo, � poss�vel que �rea Comum <
7/2.

Agora, s� falta provar que qualquer outro tri�ngulo tangente ao c�rculo
produzir� uma �rea comum > 6raiz(2) - 5.
Isso pode ser feito mais facilmente se tratarmos 2 casos separadamente:
Caso 1: Nenhum dos lados do tri�ngulo tem o mesmo suporte que algum lado do
quadrado.
Nesse caso, a �rea comum ser� igual � �rea do quadrado menos as �reas de
tr�s tri�ngulos ret�ngulos (n�o necessariamente is�sceles), cuja soma ser�
menor que 3 - 2raiz(2) ==> �rea comum > 6raiz(2) - 5.

Caso 2: Um dos lados do tri�ngulo cont�m um lado do quadrado.
Nesse caso, a �rea comum ser� igual � �rea do quadrado menos as �reas de
apenas dois tri�ngulos ret�ngulos. Assim, com mais raz�o ainda, teremos �rea
comum > 6raiz(2) - 5.

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> 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas
de
> 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao
> menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do
> mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.
>
Esquecendo, por enquanto, as idades, vamos classificar as pessoas quanto ao
sexo (2 possibilidades, mas posso estar sendo meio antiquado...) e �
nacionalidade (5 possibilidades). Logo, quanto a estes dois quesitos,
existem 2*5 = 10 tipos de pessoa.

Se houver no m�ximo 20 pessoas de cada tipo, ent�o o n�mero total de pessoas
ser� <= 20*10 = 200 ==> contradi��o, pois temos 201 pessoas ==> existe um
conjunto de pelo menos 21 pessoas tais que todas t�m o mesmo sexo e a mesma
nacionalidade.

Vamos ordenar as 21 pessoas mais jovens deste conjunto em ordem crescente de
idade. Chamemo-las de:
A1, A2, ..., A21 (ordena��o usual, ou seja, se i < j, ent�o id(Ai) <=
(Aj)   -   id = idade).

Suponhamos que, neste grupo de 21 pessoas, haja no m�ximo 4 pessoas de uma
mesma idade. Formemos os seguintes subgrupos:
{A1,A2,A3,A4}
{A5,A6,A7,A8}
{A9,A10,A11,A12}
{A13,A14,A15,A16}
{A17,A18,A19,A20}
{A21}

Teremos ent�o: id(A1) <= id(A5) <= id(A9) <= id(A13) <= id(A17) <= id(A21).

Al�m disso, como por hip�tese no m�ximo 4 pessoas t�m a mesma idade, as
desigualdades acima devem ser estritas (caso contr�rio, poder�amos ter, por
exemplo, id(A1) = id(A5), o que implicaria, por causa da ordena��o, que A1,
A2, A3, A4 e A5 tivessem todos a mesma idade, contrariando a hip�tese).

Logo: id(A1) < id(A5) < id(A9) < id(A13) < id(A17) < id(A21), ou seja, estas
seis pessoas t�m idades distintas ==> contradi��o, pois em cada grupo de 6
pessoas sempre existem 2 com a mesma idade ==> existem pelo menos 5 pessoas
(dentre estas 21) com a mesma idade.

Logo, na reuni�o de 201 pessoas existem 5 pessoas com mesmo sexo, idade e
nacionalidade.

****************

Um abra�o,
Claudio.

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