RE: [obm-l] Tres belos problemas

[João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 
5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao 
menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do 
mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.

Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de
idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação "Sabe-se que em cada
grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade".

Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, das
201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. Dessas,
sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem o
mesmo sexo.

3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 quadrados de
lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um
tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma "casa", o problema
está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos pontos em
casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância máxima
seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem ou
todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um
quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, pelo
menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância neste
caso é inferior a sqrt(4.5)

-----Original Message-----
From: Paulo Santa Rita [mailto:p_ssr@hotmail.com]
Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Tres belos problemas


Ola Pessoal,

Seguem abaixo tres problemas :

1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado 
unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do triangulo,

a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior 
que 7/2  ?

2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 
5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao 
menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do 
mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.

3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e 
altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes 
pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5).

Estes problemas nao precisam de sugestao.

Um Grande Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
3,1455,110203




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