RE: [obm-l] Tres belos problemas

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Joao Gilberto e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Muito Bom.

Vejam como a aplicacao inteligente do principio das casas dos pontos 
resolveu o problema dois. O esboco de solucao do problema 3 e satisfatorio, 
em minha opiniao.

E quanto ao primeiro problema ? E criacao minha e de forma alguma e uma 
questao dificil. Apenas exige um raciocinio original ...

Aqui vai duas outras questoes olimpicas, simples, de rapida resolucao, mas 
que nao deixam de ter os seus encantos :



1) Caracterize todas as PA's nas quais qualquer  soma de um numero qualquer 
de termos consecutivos e ainda um termo desta PA.

2)( Olimpiada Argentina ) Mostre que se numa PA ha um quadrado perfeito, 
enta0 existirao infinitos outros quadrado perfeitos nesta PA.



Um Grande abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1731,110203

EM TEMPO : Esta lista, A "Nossa Lista", foi originalmente criada pelo Prof 
Nicolau Saldanha com o objetivo de ser uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS 
DE MATEMATICA OLIMPICA. Repetindo : MATEMATICA OLIMPICA !

E portanto um forum adeguado, sobretudo, aqueles que se preparam para as 
Olimpiadas de Matematica e para as pessoas amantes e entusiasmadas com este 
Movimento Olimpico. Estas pessoas, em geral, nao se entusiasmam com as 
questoes que tipicamente caem na maioria dos vestibulares brasileiros, 
triviais e rotineiras.

Dar a esta lista o carater de tira-duvidas de vestibulares e 
descaracteriza-la, desviando-a de seu objetivo original... Mas compete a 
todos nos - e nao somente ao Prof Nicolau - cuidar para que este caracter 
olimpico seja o preponderante !

Nao estou dizendo que nao se deve propor uma questao que caiu em algum 
vestibular. Quem pode dizer o que se deve ou nao fazer e o Moderador. Mas a 
minha consciencia me diz que tenho uma parcela de responsabilidade com a 
qualidade daquilo de que participo e a fidelidade que tenho a ela me obrigou 
a dizer isso ...

Pouco ! Porem, com qualidade !

>From: João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@vesper.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas
>Date: Tue, 11 Feb 2003 16:38:08 -0300
>
>2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de
>5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao
>menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do
>mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.
>
>Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de
>idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação "Sabe-se que em cada
>grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade".
>
>Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, das
>201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. Dessas,
>sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem o
>mesmo sexo.
>
>3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 quadrados 
>de
>lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um
>tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma "casa", o problema
>está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos pontos 
>em
>casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância máxima
>seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem ou
>todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um
>quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, pelo
>menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância neste
>caso é inferior a sqrt(4.5)
>
>-----Original Message-----
>From: Paulo Santa Rita [mailto:p_ssr@hotmail.com]
>Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Tres belos problemas
>
>
>Ola Pessoal,
>
>Seguem abaixo tres problemas :
>
>1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado
>unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do 
>triangulo,
>
>a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior
>que 7/2  ?
>
>2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de
>5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao
>menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do
>mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo.
>
>3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e
>altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes
>pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5).
>
>Estes problemas nao precisam de sugestao.
>
>Um Grande Abraco a Todos !
>Paulo Santa Rita
>3,1455,110203
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>
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