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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana, Propriedade e Cálculo
Caro Igor:
Seguem-se meus comentários.
> 1°)Um triângulo ABC tem lados medindo a, b, c. Tangentes
> ao círculo inscrito são construídas paralelas aos lados.
> Cada tangente forma um triângulo com os dois outros
> lados do triângulo e um círculo é inscrito em cada um
> dos três triângulos. Encontrar a área total dos quatro
> círculos inscritos.
Sejam P e Q os pontos de interseção da tangente ao incírculo paralela ao
lado BC, com os lados AB e AC, respectivamente ==> Triângulo APQ ~ Triângulo
ABC.
R = raio do incírculo de ABC
Ha = altura de ABC relativa ao lado BC ==>
Ha - 2*R = altura de APQ relativa ao lado PQ
A = área do triângulo ABC = (1/2)*a*Ha ==>
p =semi-perímetro do triangulo ABC = (a+b+c)/2 ==> A = p*R
Logo, (1/2)*a*Ha = p*R ==> Ha = 2*p*R/a (1)
Ra = raio do incírculo de APQ
Por causa da semelhança de APQ e ABC, teremos: Ra / (Ha - 2*R) = R / Ha
==>
Ra = R - 2*R^2/Ha (2)
(1) e (2) ==> Ra = R*(p-a)/p
Analogamente, temos que Rb = R*(p-b)/p e Rc = R*(p-c)/p
A soma das áreas dos três círculos será:
S = Pi*(R^2 + Ra^2 + Rb^2 + Rc^2) =
Pi*R^2*(p^2 + (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2)/p^2 (3)
Agora falta expressar R^2 em função de a, b e c:
A = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = p*R ==>
R^2 = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p (4)
(3) e (4) ==>
S = Pi*(p-a)*(p-b)*(p-c)*[p^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2]/p^3
onde p = (a+b+c)/2
***************
> 2°) Achei essa propriedade interessante e resolvi repassa
> r:
> (n-1)(n-2)/2 + n(n-1)/2 = (n-1)²
> [(n-1)/2]*(n -2 +n) = (n-1)²
> [(n-1)/2]*(2n -2) = (n-1)²
> [(n-1)/2]*2(n-1) = (n-1)²
> (n-1)*(n-1) = (n-1)²
> (n-1)=(n-1)
>
Ou seja, todo quadrado perfeito é soma de dois números triangulares. Um
outro problema parecido (que apareceu há pouco tempo na lista) é provar que
todo cubo perfeito é diferença de dois quadrados.
********************
> 3°) Cálculo I
> I)Construa o gráfico da função f(x)= sech(x) (secante
> hiperbólica)
> Secante hiperbólica é o inverso do cosseno hiperbólico
> cosseno hiperbólico = (e^x + 1/e^x)/2
>
Esse é um exercício meio braçal de derivação, onde você deve achar as
interseções com os eixos, os pontos extremos e de inflexão e as assíntotas
do gráfico de y = Sech(x).
> I) Dada a função x^2 + xy + y^2 = 1 calcule o ponto mais
> próximo da origem.
Trata-se de minimizar d = raiz(x^2 + y^2) sujeito a x^2 + xy + y^2 = 1.
Uma forma seria usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
No entanto, como isso é Cálculo I, uma forma mais sutil seria reconhecer que
a curva (não é uma função) de equação:
x^2 + xy + y^2 = 1
é uma elipse centrada na origem e cujos eixos estão contidos nas retas y = x
e y = -x.
Por exemplo, você pode fazer uma rotação dos eixos coordenados através da
mudança de variáveis:
x = ucosA - vsenA e y = usenA + vcosA
Usando a equação original e simplificando, você chega a:
x^2 + xy + y^2 = 1 = (1+senAcosA)u^2 + (1-senAcosA)v^2 + (cos^2A - sen^2A)uv
Para eliminar o termo em uv, você pode escolher, por exemplo, cosA = senA =
1/raiz(2) (A = 45 graus).
Assim, a equação fica:
(3/2)*u^2 + (1/2)*v^2 = 1 ==> u^2/[raiz(6)/3]^2 + v^2/[raiz(2)]^2 =1 ==>
Elipse de semi-eixos raiz(6)/3 e raiz(2).
Logo, os dois pontos mais próximos (e também os dois mais distantes) da
origem serão os vértices da elipse.
y = x ==> x^2 + x*x + x^2 = 1 ==> 3x^2 = 1 ==>
x = y = 1/raiz(3) ou x = y = -1/raiz(3) ==>
Distância = raiz(x^2+y^2) = raiz(1/3+1/3) =raiz(6)/3
y = -x ==> x^2 - x^2 + x^2 = 1 ==> x^2 = 1 ==>
x = 1, y = -1 ou x = -1, y = 1 ==>
Distância = raiz(1^2+1^2) = raiz(2)
Logo, a distância mínima da elipse até a origem é igual a raiz(6)/3.
Os pontos correspondentes são (1/raiz(3),1/raiz(3)) e
(-1/raiz(3),-1/raiz(3)).
Um abraço,
Claudio.
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