Re: [obm-l] Loteria Matematica II ( correcao )

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Fiz algumas coisas com relação a este seu problema. Gostaria de comentários.
>
>Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de
>{1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com
>exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar
>sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua
>aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a
>pessoa que acertar o maior numero de triplos.
>
>1 ) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
>o primeiro premio
>2 ) Qual o valor da probabilidade acima ?
>

PARTE 1:
Quaisquer dois cartões de uma aposta gratuita podem ter no máximo 1 número
em comum.
Logo, qualquer par (não ordenado) de números de {1,2,...,49} só pode estar
contido em no máximo 1 cartão.

Seja M o número de cartões numa aposta gratuita de máxima probabilidade
(agmp).

Cada cartão contém C(7,2) = 21 pares de números.
Logo, o número de pares representados nos M cartões é igual a 21*M.

O número total de pares contidos em {1,2,...,49} é C(49,2) = 1.176.

Logo, vale a desigualdade: 21*M <= 1.176  ==>  M <= 56.

Logo, uma agmp consiste de, no máximo, 56 cartões.

Pode ser que seja possível uma agmp com exatamente 56 cartões mas eu não
consegui construir uma.

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PARTE 2:
Com 7 números por cartão, o número de triplos contidos em cada cartão é
C(7,3) = 35. Como são sorteados 7 números, o número de triplos vencedores
também é igual a 35.

Além disso, um dado triplo pode estar contido em no máximo um cartão de uma
agmp, a qual, portanto, estará apostando em 35*M triplos.

Neste ponto surgiu a minha dúvida: o primeiro prêmio é dado a quem tiver o
cartão com o maior número de triplos vencedores ou a quem tiver a maior soma
dos números de triplos vencedores em cada cartão apostado. Por exemplo,
suponha que os 7 números sorteados sejam {1,2,3,4,5,6,7} e que um apostador
tenha jogado três cartões:
{1,2,3,4,10,11,12}, {4,5,6,20,21,22,23} e {1,6,7,30,31,32,33}
Então devemos considerar que este jogador acertou 6 triplos ({1,2,3},
{1,2,4}, {1,3,4}e {2,3,4} no primeiro cartão, {4,5,6} no segundo e {1,6,7}
no terceiro) ou apenas tomar o seu cartão com o maior número de triplos
vencedores (no caso, o primeiro, com 4 triplos) e dizer que ele acertou
apenas 4 triplos?

De qualquer forma, a probabilidade desejada não é a de se acertar um
determinado número de triplos, mas sim a de se acertar mais triplos do que
qualquer outro jogador. Esta probabilidade deverá depender das apostas
feitas pelos outros jogadores. Por exemplo, se algum jogador fizer uma
aposta (não gratuita) que consiste de todos os C(49,7) cartões possíveis,
então, a probabilidade da agmp ganhar o primeiro prêmio é menor do que seria
se cada um dos outros jogadores apostar apenas um cartão.


Um abraço,
Claudio.

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