[obm-l] funções contínuas, monótonas, patológicas...

["Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@xxxxxxxxxxxxx>]

Existem ocasiões em que este forum se assemelha às CPI's - dado um assunto,
ele é acaloradamente discutido e de repente, não mais do que de repente,
tudo acaba sem que se chegue a uma conclusão formal. Quando isso ocorre com
uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu não tenho um termo para definir
o fim das discussões similares aqui, e se o tivesse ele certamente não teria
a conotação pejorativa de uma pizza.

Talvez - ou muito provavelmente - o problema não esteja com o forum mas
comigo, já que, por falta de formação acadêmica matemática, eu me sinto
perdido na minha ignorância quando alguém encerra a discussão com um
dogmático "... e isso é facilmente demonstrável".

Abaixo está o final da última discussão enquadrada no critério definido no
início desta mensagem.

Para os que não se lembram da proposição que originou a discussão, ela era
algo do tipo "Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e f(b)>f(a),
então f(x) é estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em
[a,b]".

O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um não-matemático diria
que a proposição é obviamente verdadeira.

Logo no início perguntei qual a diferença entre crescente e estritamente
crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente é o que aprendi
como sendo monótona crescente.

No desenrolar das dicussões sugeriram que para a proposição ser verdadeira
não bastava que a função fosse contínua no intervalo, teria que ser também
diferenciável no intervalo. Perguntei qual a definição de função contínua.
Não responderam.

Apresentaram um contra-exemplo - uma função "patológica" - para provar que a
proposição era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar que
a proposição fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam
sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gráfico da função patológica,
sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui.

O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a
observação que fiz, dizendo que para os fins a que se propõe não vejo
diferença alguma entre f(x) e g(x).

O apelo final. Ajudem este não-matemático a saber como ir do primeiro para o
décimo andar de um edifício sem ter que subir qualquer lance de escadas. Ou,
já que "não é difícil demonstrar que g não é monótona em nenhum intervalo",
apresentar essa demonstração que, em não sendo difícil, deverei ser capaz de
entendê-la.

Antecipada e profundamente grato,

JF

----- Original Message -----
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 03, 2003 2:38 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação


> On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote:
> > Caro Artur:
> >
> > Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em
toda a
> > reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é justamente
dado
> > por uma série de funções:
> >
> >              infinito
> > f(x)  =  SOMA  12^n * cos( Pi * x / 2^n )
> >               n = 0
>
> Acho que você queria dizer o seguinte
>
> f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n)
>
> Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria
>
> g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n)
>
> É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos
> (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n
> os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g
> não é monótona em nenhum intervalo.
>
(...)
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> =========================================================================
>


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================