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[obm-l] Re: [obm-l] fun��es cont�nuas, mon�tonas, patol�gicas...
From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> Existem ocasi�es em que este forum se assemelha �s CPI's - dado um
assunto,
> ele � acaloradamente discutido e de repente, n�o mais do que de repente,
> tudo acaba sem que se chegue a uma conclus�o formal. Quando isso ocorre
com
> uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu n�o tenho um termo para
definir
> o fim das discuss�es similares aqui, e se o tivesse ele certamente n�o
teria
> a conota��o pejorativa de uma pizza.
>
> Talvez - ou muito provavelmente - o problema n�o esteja com o forum mas
> comigo, j� que, por falta de forma��o acad�mica matem�tica, eu me sinto
> perdido na minha ignor�ncia quando algu�m encerra a discuss�o com um
> dogm�tico "... e isso � facilmente demonstr�vel".
Desta lista participam muitos matem�ticos de alto n�vel, e muitas pessoas
que tem grande experi�ncia com problemas de matem�tica. � natural que
existam jarg�es comuns do meio matem�tico. E os mais comuns s�o "trivial",
"f�cil de mostrar", "� elementar", que algumas vezes (nos piores casos)
substituem um trecho em que o escritor n�o sabe resolver o problema mesmo
;), ou - o mais geral - � um recurso de linguagem para evitar longas
explica��es. O ruim dessa hist�ria, � que quem n�o tem o costume de ler
textos escritos por matem�ticos, fica chateado quando n�o entende um trecho
desses. Eu tamb�m, no come�o, ficava um pouco indignado, voc� pode ver isso
no hist�rico da lista. Uma coisa � certa: voc� vai ter que se acostumar com
esse tipo de frase, pois todo mundo fala. Se voc� quer fazer a matem�tica um
pouco mais acess�vel a todos os iniciantes, nunca pegue a mania de dizer
essas frases, o prejuizo ser� na quantidade de texto que voc� vai ter de
escrever.
> Abaixo est� o final da �ltima discuss�o enquadrada no crit�rio definido no
> in�cio desta mensagem.
>
> Para os que n�o se lembram da proposi��o que originou a discuss�o, ela era
> algo do tipo "Se uma fun��o f(x) � cont�nua no intervalo [a,b], e
f(b)>f(a),
> ent�o f(x) � estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em
> [a,b]".
>
> O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um n�o-matem�tico diria
> que a proposi��o � obviamente verdadeira.
E surpreendentemente ela � falsa! Nem t�o surpreendente para os matem�ticos
e aprendizes mais experientes, que j� se depararam com coisas mais malucas.
> Logo no in�cio perguntei qual a diferen�a entre crescente e estritamente
> crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente � o que
aprendi
> como sendo mon�tona crescente.
Existem v�rios sin�nimos. Acho que a regra �
* mon�tona crescente, crescente ou estritamente crescente = "x < y implica
f(x) < f(y)"
* n�o decrescente = "x < y implica f(x) <= f(y)"
> No desenrolar das dicuss�es sugeriram que para a proposi��o ser verdadeira
> n�o bastava que a fun��o fosse cont�nua no intervalo, teria que ser tamb�m
> diferenci�vel no intervalo. Perguntei qual a defini��o de fun��o cont�nua.
> N�o responderam.
Essa foi uma sugest�o para CORRIGIR aquela proposi��o. Eu, particularmente,
n�o tentei corrigi-la para uma outra proposi��o, mas tentei mostrar que ela
� falsa. Outros disseram explicitamente exemplos, eu s� dei uma sugest�o de
algo que li no livro do Ralph Boas, mas que talvez n�o fale desse problema.
Se voc� pergunta o que � Fun��o Cont�nua, n�o deve estar acostumado com
muitos outros conceitos e resultados que se relacionam a esse assunto. Eu
recomendo que voc� estude um livro de An�lise Real, como o do Elon Lages
Lima. O conceito de fun��o cont�nua num ponto c de seu dom�nio � o seguinte:
* para todo e>0 existe um d>0 tal que |c-x|<d implica |f(c)-f(x)|<e.
Acho que isso n�o te ajuda muito. Leia um livro de an�lise, � a minha
sugest�o.
> Apresentaram um contra-exemplo - uma fun��o "patol�gica" - para provar que
a
> proposi��o era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar
que
> a proposi��o fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam
> sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gr�fico da fun��o
patol�gica,
> sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui.
Eu n�o tenho certeza se a figura que � gerada no plano � sempre um fractal
(de dimens�o n�o inteira). Outra pessoa teria de explicar, me falta
conhecimento... mas eu *acho* que tem a ver sim. � como a costa de um
continente, n�o importa o quanto voc� aproxima ela � sempre serrilhada, com
indas e vindas, apesar de ser cont�nua...
> O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a
> observa��o que fiz, dizendo que para os fins a que se prop�e n�o vejo
> diferen�a alguma entre f(x) e g(x).
Voc� deve estar se referindo a mensagem
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200302/msg00053.html
do Nicolau. Ele d� um esbo�o de demonstra��o, eu n�o sei tamb�m como
preencher os detalhes. O Nicolau, assim como outros da lista, � um
pesquisador ocupado e n�o necessariamente vai ficar destrinchando todos os
detalhes do que diz. Tente ser compreensivo.
> O apelo final. Ajudem este n�o-matem�tico a saber como ir do primeiro para
o
> d�cimo andar de um edif�cio sem ter que subir qualquer lance de escadas.
Ou,
> j� que "n�o � dif�cil demonstrar que g n�o � mon�tona em nenhum
intervalo",
> apresentar essa demonstra��o que, em n�o sendo dif�cil, deverei ser capaz
de
> entend�-la.
>
> Antecipada e profundamente grato,
>
> JF
Eu acho que voc� deve compreender que n�o h� inimigos ou pessoas de m�
vontade nessa lista. Ningu�m ganha um centavo e muitos dos matem�ticos daqui
est�o mais ensinando do que aprendendo. Eu j� fiz muitos amigos, e aprendi
muita coisa aqui. Se voc� souber aproveitar, sem criar animosidades, tenho
certeza que ser� muito beneficiado. Eu recomendo que voc� estude livros de
An�lise para depois pegar um livro com a quest�o.
Abra��o!
Duda.
>
> ----- Original Message -----
> From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, February 03, 2003 2:38 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma��o
>
>
> > On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cl�udio (Pr�tica) wrote:
> > > Caro Artur:
> > >
> > > Voc� j� deve ter ouvido falar que existem fun��es que s�o cont�nuas em
> toda a
> > > reta mas n�o s�o diferenci�veis em ponto algum - um exemplo �
justamente
> dado
> > > por uma s�rie de fun��es:
> > >
> > > infinito
> > > f(x) = SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n )
> > > n = 0
> >
> > Acho que voc� queria dizer o seguinte
> >
> > f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n)
> >
> > Outro exemplo (que talvez torne a demonstra��o mais f�cil) seria
> >
> > g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n)
> >
> > � f�cil calcular o valor desta fun��o em racionais di�dicos
> > (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n
> > os cos s�o todos iguais a 1. N�o � dif�cil ent�o demonstrar que g
> > n�o � mon�tona em nenhum intervalo.
> >
> (...)
> >
> > []s, N.
> >
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> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >
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> >
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