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[obm-l] Re: [obm-l] funções contínuas, monótonas, patológicas...
From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
> Existem ocasiões em que este forum se assemelha às CPI's - dado um
assunto,
> ele é acaloradamente discutido e de repente, não mais do que de repente,
> tudo acaba sem que se chegue a uma conclusão formal. Quando isso ocorre
com
> uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu não tenho um termo para
definir
> o fim das discussões similares aqui, e se o tivesse ele certamente não
teria
> a conotação pejorativa de uma pizza.
>
> Talvez - ou muito provavelmente - o problema não esteja com o forum mas
> comigo, já que, por falta de formação acadêmica matemática, eu me sinto
> perdido na minha ignorância quando alguém encerra a discussão com um
> dogmático "... e isso é facilmente demonstrável".
Desta lista participam muitos matemáticos de alto nível, e muitas pessoas
que tem grande experiência com problemas de matemática. É natural que
existam jargões comuns do meio matemático. E os mais comuns são "trivial",
"fácil de mostrar", "é elementar", que algumas vezes (nos piores casos)
substituem um trecho em que o escritor não sabe resolver o problema mesmo
;), ou - o mais geral - é um recurso de linguagem para evitar longas
explicações. O ruim dessa história, é que quem não tem o costume de ler
textos escritos por matemáticos, fica chateado quando não entende um trecho
desses. Eu também, no começo, ficava um pouco indignado, você pode ver isso
no histórico da lista. Uma coisa é certa: você vai ter que se acostumar com
esse tipo de frase, pois todo mundo fala. Se você quer fazer a matemática um
pouco mais acessível a todos os iniciantes, nunca pegue a mania de dizer
essas frases, o prejuizo será na quantidade de texto que você vai ter de
escrever.
> Abaixo está o final da última discussão enquadrada no critério definido no
> início desta mensagem.
>
> Para os que não se lembram da proposição que originou a discussão, ela era
> algo do tipo "Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e
f(b)>f(a),
> então f(x) é estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em
> [a,b]".
>
> O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um não-matemático diria
> que a proposição é obviamente verdadeira.
E surpreendentemente ela é falsa! Nem tão surpreendente para os matemáticos
e aprendizes mais experientes, que já se depararam com coisas mais malucas.
> Logo no início perguntei qual a diferença entre crescente e estritamente
> crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente é o que
aprendi
> como sendo monótona crescente.
Existem vários sinônimos. Acho que a regra é
* monótona crescente, crescente ou estritamente crescente = "x < y implica
f(x) < f(y)"
* não decrescente = "x < y implica f(x) <= f(y)"
> No desenrolar das dicussões sugeriram que para a proposição ser verdadeira
> não bastava que a função fosse contínua no intervalo, teria que ser também
> diferenciável no intervalo. Perguntei qual a definição de função contínua.
> Não responderam.
Essa foi uma sugestão para CORRIGIR aquela proposição. Eu, particularmente,
não tentei corrigi-la para uma outra proposição, mas tentei mostrar que ela
é falsa. Outros disseram explicitamente exemplos, eu só dei uma sugestão de
algo que li no livro do Ralph Boas, mas que talvez não fale desse problema.
Se você pergunta o que é Função Contínua, não deve estar acostumado com
muitos outros conceitos e resultados que se relacionam a esse assunto. Eu
recomendo que você estude um livro de Análise Real, como o do Elon Lages
Lima. O conceito de função contínua num ponto c de seu domínio é o seguinte:
* para todo e>0 existe um d>0 tal que |c-x|<d implica |f(c)-f(x)|<e.
Acho que isso não te ajuda muito. Leia um livro de análise, é a minha
sugestão.
> Apresentaram um contra-exemplo - uma função "patológica" - para provar que
a
> proposição era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar
que
> a proposição fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam
> sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gráfico da função
patológica,
> sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui.
Eu não tenho certeza se a figura que é gerada no plano é sempre um fractal
(de dimensão não inteira). Outra pessoa teria de explicar, me falta
conhecimento... mas eu *acho* que tem a ver sim. É como a costa de um
continente, não importa o quanto você aproxima ela é sempre serrilhada, com
indas e vindas, apesar de ser contínua...
> O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a
> observação que fiz, dizendo que para os fins a que se propõe não vejo
> diferença alguma entre f(x) e g(x).
Você deve estar se referindo a mensagem
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200302/msg00053.html
do Nicolau. Ele dá um esboço de demonstração, eu não sei também como
preencher os detalhes. O Nicolau, assim como outros da lista, é um
pesquisador ocupado e não necessariamente vai ficar destrinchando todos os
detalhes do que diz. Tente ser compreensivo.
> O apelo final. Ajudem este não-matemático a saber como ir do primeiro para
o
> décimo andar de um edifício sem ter que subir qualquer lance de escadas.
Ou,
> já que "não é difícil demonstrar que g não é monótona em nenhum
intervalo",
> apresentar essa demonstração que, em não sendo difícil, deverei ser capaz
de
> entendê-la.
>
> Antecipada e profundamente grato,
>
> JF
Eu acho que você deve compreender que não há inimigos ou pessoas de má
vontade nessa lista. Ninguém ganha um centavo e muitos dos matemáticos daqui
estão mais ensinando do que aprendendo. Eu já fiz muitos amigos, e aprendi
muita coisa aqui. Se você souber aproveitar, sem criar animosidades, tenho
certeza que será muito beneficiado. Eu recomendo que você estude livros de
Análise para depois pegar um livro com a questão.
Abração!
Duda.
>
> ----- Original Message -----
> From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, February 03, 2003 2:38 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
>
>
> > On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote:
> > > Caro Artur:
> > >
> > > Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em
> toda a
> > > reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é
justamente
> dado
> > > por uma série de funções:
> > >
> > > infinito
> > > f(x) = SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n )
> > > n = 0
> >
> > Acho que você queria dizer o seguinte
> >
> > f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n)
> >
> > Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria
> >
> > g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n)
> >
> > É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos
> > (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n
> > os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g
> > não é monótona em nenhum intervalo.
> >
> (...)
> >
> > []s, N.
> >
=========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >
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> >
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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