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[obm-l] Re: [obm-l] s�ries



Caros Bruno e Gabriel:
 
x(k) = k > 1, para k > 1, enquanto que uma das premissas � 0 <= x(k) <= 1.
Logo, o contra-exemplo n�o vale.
 
******************
 
Suponha que as premissas sejam v�lidas e que lim a(k) = L, com L <> 0.
 
Como 0 <= a(k) <= 1, teremos que L > 0.
 
Em particular, existir� um n�mero real positivo A (tome, por exemplo, A = L/2) tal que para todo k suficientemente grande, a(k) > A.
 
Mas, nesse caso, para todo k suficientemente grande, a(k)*x(k) > A*x(k) ==> SOMA a(k)*x(k) diverge ==> contradi��o.
 
Logo, se a(k) converge, tem de ser para 0.
 
**************
Por outro lado � poss�vel que as premissas sejam v�lidas e que a(k) seja divergente.
 
Tome a(k) = 0 se (k+1) n�o for quadrado perfeito e a(k) = 1 se (k+1) for um quadrado perfeito.
Claramente, a(k) diverge.
 
Tome x(k) = 1/(k+1)
 
Ent�o:
0 <= a(k),x(k) <=1
 
infinito              infinito
SOMA  x(k)  =  SOMA 1/(k+1)   diverge
 k = 0                k = 0
 
infinito                     infinito
SOMA  a(k)*x(k)  =  SOMA 1/n^2 = Pi^2/6 
 k = 0                       n = 1
 
(a(k)*x(k) � a subsequ�ncia de x(k) que cont�m os rec�procos dos quadrados perfeitos)
 
************
 
Logo, a conclus�o deve ser que, dadas as premissas, se a(k) converge, ent�o lim a(k) = 0, mas pode ser que a(k) seja divergente.
 
 
Um abra�o,
Claudio.
 
 
 
 
 
 
 
----- Original Message -----
From: Bruno Lima
Sent: Friday, February 07, 2003 1:18 PM
Subject: Re: [obm-l] s�ries

Nao, contra exemplo:    tome x[k]=k a[k]=1/(ck)

 ghaeser@zipmail.com.br wrote:


seja 0<=x[k],a[k]<=1 sequencias.

se somat�rio de x[k], para k=0,..,oo diverge.

e somat�rio de a[k].x[k], para k=0,..,oo converge.

� poss�vel afirmar que lim ak = 0 ?



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Gabriel Haeser
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