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Caros Domingos Jr., Artur e demais
colegas:
Acho que dá pra eliminar a necessidade de termos f'
contínua. Basta que f'(x) seja positiva para todo x em algum intervalo [c,d] com
a <= c < d <= b. Nesse caso, como f é contínua, será crescente em
[c,d].
Minha dúvida é: Supondo que f' exista mas seja
descontínua em todo ponto de [a,b], será que a condição f(a) < f(b) é
suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <= c < d
<= b) onde f é crescente?
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07
AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma
afirmação
acho que sem a hipótese de f diferenciável
realmente isso não é verdadeiro...
dê uma olhada nessas funções que, apesar de serem
contínuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo é
maior que o outro e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente
crescente ou decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a
fundo):
assumindo f diferenciável, seja f' sua derivada
tb contínua no intervalo [a, b]
se f'(x) > 0 para algum valor de x em [a, b]
na região em torno a x as derivadas também são maiores que 0 pois f' é
contínua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f é estritamente
crescente.
para suponha que f'(x) <= 0 para todo x em [a,
b], temos que f(b) <= f(a), que não pode ocorrer.
acho que é só, às 2 da manhã é só o que eu
consigo pensar :-)
----- Original Message -----
Sent: Saturday, February 01, 2003 8:35
PM
Subject: [obm-l] prova de uma
afirmação
Boa noite a todos,
Pediram-se para demonstrar
a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira,
está me causando grande dificuldade:
Seja f: [a, b] -> R
contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo
de [a, b] no qual f é estritamente crescente.
Estou começando a achar
que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. Mas também
não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada pelo limite de uma série
de funções ou por combinações de outras funções.
Mesmo relaxando o caráter
estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim
não consegui chegar a qualquer conclusão.
Algúem tem alguma idéia a
este respeito? Um abraço.
Artur
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