[obm-l] Re: [obm-l] Taxas relacionadas e problemas de otimização

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Marcos Reynaldo:

Aqui vão alguns comentários.

1) Um depósito esférico está recoberto uniformemente
por uma camada de gelo de 5 cm de espessura. À medida
que o gelo derrete, a taxa na qual o volume de gelo
diminui é diretamente proporcional à taxa em qua a
área da superfície decresce. Mostre que o diâmetro
externo está decrescendo a uma taxa constante. (página
204)

R = raio do depósito (constante)
x = espessura da camada de gelo (variável)

V(gelo) = (4/3)*Pi*(R+x)^3 - (4/3)*Pi*R^3

A(gelo) = 4*Pi*(R+x)^2

dV/dt = k * dA/dt  ==>  dV/dx * dx/dt = k * dA/dx * dx/dt  ==>  dV/dx = k *
dA/dx  ==>
4*Pi*(R+x)^2 = k * 8*Pi*(R+x)  ==>  (R+x)^2 = k * 2*(R+x)  ==>  R+x = 2*k
==>
x é constante ==> Dexterno = 2*(R+x) é constante ==> dDexterno/dt = 0

Realmente, nas condições do problema (dV/dt = k*dA/dt) o diâmetro esté
decrescendo a uma taxa constante e igual a zero ==> a camada de gelo está
fixa.

Na verdade, o que acontece é o seguinte:

Expressando V(gelo) em função de A(gelo), teremos:

A = 4*Pi*(R+x)^2  ==>  (A/(4*Pi))^(3/2) = (R+x)^3 ==>
(4/3)*Pi*(R+x)^3 = (4/3)*Pi*[A/(4*Pi)]^(3/2) = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2)  ==>

V = 1/(6*raiz(Pi))*A^(3/2) - (4/3)*Pi*R^3  ==>

dV/dA = 1/(4*raiz(Pi))*raiz(A)

dV/dt = (dA/dt) / (dV/dA)  ==>  4*raiz(Pi) * (1/raiz(A)) * dA/dt

Ou seja, a taxa de variação no volume é diretamente proporcional à taxa de
variação da Área e INVERSAMENTE PROPORCIONAL À RAIZ QUADRADA DA ÁREA.

******************

2)Um muro tem 3 m de altura, é paralelo à parede de um
edifício, e está a 0,30m desta. Determine o
comprimento da menor escada que vá do chão à parede do
edifício, tocando o muro. (página 274)

Eu não tenho o livro mas do jeito que você colocou o enunciado, eu diria que
o comprimento mínimo é de 0,30 m - escada paralela ao chão tocando o muro e
a parede.....Será que não tem alguma figura ou alguma restrição adicional?

***************

3) A lei de Boyle para gases confinados afirma que, se
a temperatura permanece constante, então p.v=c , onde
é a pressão, v o volume e c uma constante. A certo
instante, o volume é 1,230 cm^3 , a pressão é de 206
k/cm^2 e a pressão decresce à razão de 1 km/cm^2. Em
que taxa está variando o volume nesse instante ?
(página 203)

Realmente, as unidades estão esquisitas, pra dizer o mínimo (pressão
variando a 1 km/cm^2 ????) - mesmo que este seja um  um livro de cálculo e
não de física é duro de perdoar....

De qualquer forma, supondo que as unidades sejam:
Pressão = kgf/cm^2, Volume = cm^3 e Taxa de Variação da Pressão = kgf/(cm^2
* seg), teremos:

P*V = c  ==> 206 * 1.230 = c ==> c = 253.380 kgf * cm

V = c/P  ==>  dV/dt = - (c/P^2) * dP/dt = - (253.380/206^2) * (-1) = 5,97
kgf/(cm^2*seg)
(o volume está aumentando)

O que diz seu gabarito?

Um abraço,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================