[obm-l] Re: [obm-l] cartões numerados

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Rafael:

A meu ver, o problema é achar o número de partições do conjunto {1, 2, 3,
..., 99, 100}em três subconjuntos V, B e A, tais que exista uma função F:
{ 3, 4, 5, ..., 199 } ==> { V, B, A } tal que:
F(V+B) = A,  F(V+A) = B e F(B+A) = V.

Ou seja, F é uma função do conjunto de todas as somas possíveis de dois
elementos de {1, 2, .., 100} (soma mínima = 1+2 = 3; soma máxima = 99+100 =
199 ) no conjunto cujos três elementos são os conjuntos V, B e A.

V+B = { x + y | x pertence a V e y pertence a B }
F(V+B) = imagem de V+B pela função F.

Assim, por exemplo, se forem escolhidas cartas x de V e y de B, teremos que
ter F(x+y) = A.

Uma idéia é particionar (1, 2, ..., 100 } em classes de congruência mod 3.

Por exemplo, suponha que:
V = { 3, 6, 9, 12, ..., 99 }  (números da forma 3k)
B =  { 1, 4, 7, ..., 100 }  (números da forma 3k+1)
A = { 2, 5, 8, ..., 98 }  (números da forma 3k+2).

Levando em conta que:
3m+(3n+1) = 3k + 1
3m+(3n+2) = 3k+2
(3m+1)+(3n+2) = 3k

defina F como sendo:
F(x) = V se x = 0 (mod 3)
F(x) = A se x = 1 (mod 3)
F(x) = B se x = 2 (mod 3)

Assim, você consegue deduzir que:
Soma = 0 (mod 3) ==> Cartas (3m+1) e (3n+2) ==> F(soma) = V
Soma = 1 (mod 3) ==> Cartas 3m e (3n+1) ==> F(soma) = A
Soma = 2 (mod 3) ==> Cartas 3m e (3n+2) ==> F(soma) = B

No entanto, este não é o único tipo de solução possível.
Por exemplo, a sua solução é radicalmente diferente - no seu caso, uma das
seis possibilidades é V = {1}, B = {100} e A = {2, 3, ..., 99 } com F
definida como:
F(3) = F(4) = ... = F(100) = B
F(101) = A
F(102) = F(103) = ... = F(199) = V.

Espero que isso ajude.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 30, 2003 1:14 PM
Subject: [obm-l] cartões numerados


Pessoal, tenho uma questão interessante:

Um mágico tem cem cartões numerados de 1 a 100.
Coloca-os em três caixas, uma vermelha, uma branca e
uma azul, de modo que cada caixa contém pelo menos um
cartão.
Uma pessoa da platéia escolhe duas das três caixas,
seleciona um cartão de cada caixa e anuncia a soma dos
números dos dois cartões que escolheu. Ao saber esta
soma, o mágico identifica a caixa da qual não se
retirou nenhum cartão.
De quantas maneiras podem ser colocados todos os
cartões nas caixas de modo de que este truque sempre
funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se
pelo menos um cartão é colocado numa caixa diferente).



Já pensei um bocado sobre esse problema e até agora só
achei uma resposta (que vale por 6, se permutarmos as
cores das caixas), que é colocar numa caixa o número
1, na outra caixa o número 100 e na outra caixa todos
os outros. Será que há mais respostas???

Abraços,

Cinoto.

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