[obm-l] Re: [obm-l] cart�es numerados

["Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Rafael:

A meu ver, o problema � achar o n�mero de parti��es do conjunto {1, 2, 3,
..., 99, 100}em tr�s subconjuntos V, B e A, tais que exista uma fun��o F:
{ 3, 4, 5, ..., 199 } ==> { V, B, A } tal que:
F(V+B) = A,  F(V+A) = B e F(B+A) = V.

Ou seja, F � uma fun��o do conjunto de todas as somas poss�veis de dois
elementos de {1, 2, .., 100} (soma m�nima = 1+2 = 3; soma m�xima = 99+100 =
199 ) no conjunto cujos tr�s elementos s�o os conjuntos V, B e A.

V+B = { x + y | x pertence a V e y pertence a B }
F(V+B) = imagem de V+B pela fun��o F.

Assim, por exemplo, se forem escolhidas cartas x de V e y de B, teremos que
ter F(x+y) = A.

Uma id�ia � particionar (1, 2, ..., 100 } em classes de congru�ncia mod 3.

Por exemplo, suponha que:
V = { 3, 6, 9, 12, ..., 99 }  (n�meros da forma 3k)
B =  { 1, 4, 7, ..., 100 }  (n�meros da forma 3k+1)
A = { 2, 5, 8, ..., 98 }  (n�meros da forma 3k+2).

Levando em conta que:
3m+(3n+1) = 3k + 1
3m+(3n+2) = 3k+2
(3m+1)+(3n+2) = 3k

defina F como sendo:
F(x) = V se x = 0 (mod 3)
F(x) = A se x = 1 (mod 3)
F(x) = B se x = 2 (mod 3)

Assim, voc� consegue deduzir que:
Soma = 0 (mod 3) ==> Cartas (3m+1) e (3n+2) ==> F(soma) = V
Soma = 1 (mod 3) ==> Cartas 3m e (3n+1) ==> F(soma) = A
Soma = 2 (mod 3) ==> Cartas 3m e (3n+2) ==> F(soma) = B

No entanto, este n�o � o �nico tipo de solu��o poss�vel.
Por exemplo, a sua solu��o � radicalmente diferente - no seu caso, uma das
seis possibilidades � V = {1}, B = {100} e A = {2, 3, ..., 99 } com F
definida como:
F(3) = F(4) = ... = F(100) = B
F(101) = A
F(102) = F(103) = ... = F(199) = V.

Espero que isso ajude.

Um abra�o,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 30, 2003 1:14 PM
Subject: [obm-l] cart�es numerados


Pessoal, tenho uma quest�o interessante:

Um m�gico tem cem cart�es numerados de 1 a 100.
Coloca-os em tr�s caixas, uma vermelha, uma branca e
uma azul, de modo que cada caixa cont�m pelo menos um
cart�o.
Uma pessoa da plat�ia escolhe duas das tr�s caixas,
seleciona um cart�o de cada caixa e anuncia a soma dos
n�meros dos dois cart�es que escolheu. Ao saber esta
soma, o m�gico identifica a caixa da qual n�o se
retirou nenhum cart�o.
De quantas maneiras podem ser colocados todos os
cart�es nas caixas de modo de que este truque sempre
funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se
pelo menos um cart�o � colocado numa caixa diferente).



J� pensei um bocado sobre esse problema e at� agora s�
achei uma resposta (que vale por 6, se permutarmos as
cores das caixas), que � colocar numa caixa o n�mero
1, na outra caixa o n�mero 100 e na outra caixa todos
os outros. Ser� que h� mais respostas???

Abra�os,

Cinoto.

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