[obm-l] Re: [obm-l] cartões numerados

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Cinoto:

Fiz um pouco mais de progresso nesse problema.

Sejam M = {1, 2, ..., 100 } e S = {3, 4, ..., 199 } = conjunto de todas as
somas possíveis de dois elementos de M.

Em linguagem matemática, o que se deseja é o número de partições de M em 3
conjuntos A, B e C (disjuntos dois a dois e com união igual a M) tais que
A+B, A+C e B+C formam uma partição de S, onde:
A+B = {x + y | x pertence a A  e  y pertence a B }

Consegui provar que a sua solução (A={1}, B={100}, C = M - {1,100}) é a
única (a menos de uma permutação) que funciona com 1 carta em cada uma de
duas caixas e as 98 restantes na terceira.
A demonstração é simples mas meio sacal pois se desdobra em vários casos.

Sejam os conjuntos (caixas) A, B e C, tais que A = {a}, B = {b} e C = X -
{a,b}.
Suponhamos s.p.d.g. que a < b.

a = 1, b = 100  ==>  a sua solução
A+B = {101}
A+C = {3, 4, 5, ..., 100}
B+C = {102, 103, 104, ..., 199}

A idéia agora é mostrar que se a <> 1 ou b <> 100, A+C e B+C terão um
elemento em comum, o que faz com que o truque deixe de funcionar.

Suponhamos, inicialmente, que a = 1 e vamos variar "b":
b = 2  ==> 3 e 4 pertencem a C ==>
5 = 1 + 4 = 2 + 3 pertence a A+C e a B+C

3 <= b <= 99  ==> 2 e b+1 pertencem a C ==>
b+2 = 1 + (b+1) = 2 + b pertence a A+C e B+C

Suponhamos agora que b = 100 e vamos variar "a":
a = 99  ==> 1 e 2 pertencem a C ==>
101 = 99 + 2 = 100 + 1 pertence a A+C e B+C

2 <= a <= 98  ==>  99 e a-1 pertencem a C ==>
a+99 = a + 99 = 100 + (a-1) pertence a A+C e B+C

Agora, façamos a hipótese de que a > 1, b < 100 e b = a+1.
Temos dois casos a considerar: a = 2 e a >= 3.
a = 2  ==>  b = 3  ==>  4 e 5 pertence a C ==>
7 = 2 + 5 = 3 + 4 pertence a A+C e B+C

a >= 3 ==> 1 e 2 pertencem a C  ==>
a+2 = a + 2 = b + 1 pertence a A+C e B+C

Finalmente, suponhamos que a > 1, b < 100 e b > a+1:
1 < a < a+1 < b < 100  ==> a+1 e b+1 pertencem a C ==>
a+b+1 = a + (b+1) = b + (a+1) pertencem a A+C e B+C

**************

 Em suma: por enquanto temos duas soluções:
A = {1}, B = {100}, C = {2, 3, ..., 99 }
e
A = {nos da forma 3k}, B = {nos. da forma 3k+1}, C = {nos. da forma 3k+2}


Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, January 30, 2003 1:14 PM
Subject: [obm-l] cartões numerados


Pessoal, tenho uma questão interessante:

Um mágico tem cem cartões numerados de 1 a 100.
Coloca-os em três caixas, uma vermelha, uma branca e
uma azul, de modo que cada caixa contém pelo menos um
cartão.
Uma pessoa da platéia escolhe duas das três caixas,
seleciona um cartão de cada caixa e anuncia a soma dos
números dos dois cartões que escolheu. Ao saber esta
soma, o mágico identifica a caixa da qual não se
retirou nenhum cartão.
De quantas maneiras podem ser colocados todos os
cartões nas caixas de modo de que este truque sempre
funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se
pelo menos um cartão é colocado numa caixa diferente).



Já pensei um bocado sobre esse problema e até agora só
achei uma resposta (que vale por 6, se permutarmos as
cores das caixas), que é colocar numa caixa o número
1, na outra caixa o número 100 e na outra caixa todos
os outros. Será que há mais respostas???

Abraços,

Cinoto.

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