Oi pessoal !
2)Vou supor que a,b,c,x sejam números
reais e que a é diferente de zero.
Prove que se p(x)=x não tem nenhuma
raiz real, então o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de
f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de
g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem
de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função
não tem raiz real a primeira também não tem.
Prova: Primeiro vou provar a segunda
hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c)
+c =>
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax
+b) => f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hipótese é verdadeira
então f '' (x)/g '' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b
> 0 =>
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2)
+4abx +b^2 +b > 0 => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b
> 0.
Como o coeficiente dominante de h(x)
é positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais.
Se h(x) não possui raízes reais então
: 36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b <
0 => 12b^2 -48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac
< 2b ( 1 )
Para provar ( 1 ) vou fazer algumas
considerações:
Devemos ter que p(x)=x não tem raízes
reais. Logo (b-1)^2 -4ac < 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 =>
b^2 -4ac < 2b -1,
logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) =
x não possui raízes reais CQD.
Devemos provar agora a primeira hipótese.
g ' (x) = 0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a)
=((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a
=>
módulo da ordenada de máximo ou mínimo
de g (x) é | {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax
+b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f '
(x) =0 =>
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx
+2ac +b) =0.
O primeiro caso implica em: x=
-b/2a
O segundo caso implica em: delta=
4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
Vamos provar que delta < 0 :
4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) < 0 => b^2 -4ac -2b < 0 =>
b^2-4ac < 2b ( 1 ).
Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos
só com o caso x= -b/2a =>
f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2
+b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c
=
=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c
-(b^2/4a)) +c = a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
módulo da ordenada de máximo ou mínimo
de f (x) é | {a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
Como a segunda hipótese é verdadeira
então se g(x) tem máximo definido f(x) também tem, e se g(x)
tem mínimo definido f(x) também tem.
Temos que se p(x) =x não tem raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
raiz real, note que se a > 0, g(x)
tem mínimo e se a < 0, g(x) tem máximo. Logo para provar a primeira
hipótese, temos
que considerar 2 casos : a > 0
e a < 0.
Suponha que a primeira hipótese seja
falsa:
a > 0 => y > z e y,z >
0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a -b/2a +1/4a +c >
a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
-4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2)
+b^4 +16bc -4b^3 => 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2
-8b +4 =h(a) < 0
Considere ( 2 ) uma função do 2º grau
de variável a. Temos a > 0, logo:
64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc
-4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).
De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 <
-(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 . Absurdo !
Para o caso a < 0 => y >
z, temos um raciocínio análogo, provamos que se a < 0, então h(a)
> 0, logo o delta de h(a)
é negativo, o que nos leva a conclusão
de que (b^2 -4ac)^2 < 0 Absurdo !
Logo a primeira hipótese é verdadeira,
porque é absurdo que ela seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,
Logo p(x)=x não ter raízes reais implica
na segunda hipótese qua implica na primeira.
Se a primeira e a segunda hipóteses
são ambas verdadeiras, isso implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz
real
CQD.
Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0
tem uma raiz real entre -1 e 0.
OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu
mandei sem querer antes, ele estava com a resposta pela metade.
André T.