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Oi pessoal !
2)Vou supor que a,b,c,x sejam n�meros reais e que a
� diferente de zero.
Prove que se p(x)=x n�o tem nenhuma raiz
real, ent�o o m�dulo da ordenada do m�ximo ou do m�nimo de
f(x)=p(p(x)) � maior que o m�dulo da ordenada do m�ximo ou do m�nimo de
g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x � o mesmo, assim se a segunda fun��o n�o tem raiz
real a primeira tamb�m n�o tem.
Prova: Primeiro vou provar a segunda
hip�tese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c)
+c =>
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f
'' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hip�tese � verdadeira ent�o f '' (x)/g
'' (x) > 0 => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b
> 0 => h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b
> 0.
Como o coeficiente dominante de h(x) � positivo,
devemos apenas provar que h(x) n�o possui ra�zes reais.
Se h(x) n�o possui ra�zes reais ent�o :
36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2
-48ac -24b <0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1
)
Para provar ( 1 ) vou fazer algumas
considera��es:
Devemos ter que p(x)=x n�o tem ra�zes reais. Logo
(b-1)^2 -4ac < 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac <
2b -1,
logo ( 1 ) � verdadeira se p(x) = x n�o possui
ra�zes reais CQD.
Devemos provar agora a primeira hip�tese. g ' (x) =
0 => 2ax +b-1 =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a)
+(-b^2/2a) +c =
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a
=>
m�dulo da ordenada de m�ximo ou m�nimo de g (x) � |
{-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax
+b) => f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac
+b) ; f ' (x) =0 =>
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)
=0.
O primeiro caso implica em: x= -b/2a
O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2)
-4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
Vamos provar que delta < 0 :
4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) < 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac
< 2b ( 1 ).
Como ( 1 ) j� foi provado, ent�o ficamos s� com o
caso x= -b/2a =>
f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a)
-(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c =
a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
m�dulo da ordenada de m�ximo ou m�nimo de f (x) � |
{a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
Como a segunda hip�tese � verdadeira ent�o se g(x)
tem m�ximo definido f(x) tamb�m tem, e se g(x)
tem m�nimo definido f(x) tamb�m tem. Temos que se
p(x) =x n�o tem raiz real f '(x) e g'(x) s� tem uma
raiz real, note que se a > 0, g(x) tem m�nimo e
se a < 0, g(x) tem m�ximo. Logo para provar a primeira hip�tese,
temos
que considerar 2 casos : a > 0 e a <
0.
Suponha que a primeira hip�tese seja
falsa:
a > 0 => y > z e y,z >
0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a -b/2a +1/4a
+c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
-4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc
-4b^3 => 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) <
0
Considere ( 2 ) uma fun��o do 2� grau de vari�vel
a. Temos a > 0, logo:
64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3
+4b^2 -8b +4) < 0 => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).
De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc
-4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 . Absurdo !
Para o caso a < 0 => y > z, temos um
racioc�nio an�logo, provamos que se a < 0, ent�o h(a) > 0, logo o delta de
h(a)
� negativo, o que nos leva a conclus�o de que (b^2
-4ac)^2 < 0 Absurdo !
Logo a primeira hip�tese � verdadeira, porque �
absurdo que ela seja falsa se a segunda hip�tese � verdadeira,
Logo p(x)=x n�o ter ra�zes reais implica na segunda
hip�tese qua implica na primeira.
Se a primeira e a segunda hip�teses s�o ambas
verdadeiras, isso implica que p(p(x))=0 n�o tem nenhuma raiz real
CQD.
OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem
querer antes, ele estava com a resposta pela metade.
Andr� T.
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