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Re: [obm-l] Re:
Como eu falei num e-mail anterior, se fosse p(p(x))=x, nao zero, ai o
problema e possivel. Nesse caso, so se usa a continuidade da funcao (caso
particular do teorema de Scharkowsky)
Abraco,
Salvador
On Sat, 21 Dec 2002, A. C. Morgado wrote:
> Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao
> p(x) = x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
> discriminante eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0,
> NAO EH VERDADE que p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da
> referida equaçao. Assim como esse, ha muitos contraexemplos que podem
> ser dados (vejam mensagem de Salvador Addas Zanata).
> Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
> anteriores, pois ele estah errado.
> Morgado
>
> Eder wrote:
>
> > Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
> >
> >
> >
> > Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0
> > has no real roots.
> >
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> >
> > From: A. C. Morgado <mailto:morgado@centroin.com.br>
> >
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
> >
> > Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
> >
> > Subject: Re: [obm-l] Re:
> >
> >
> >
> >
> > Wagner wrote:
> >
> >> Oi pessoal !
> >>
> >>
> >>
> >> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
> >> de zero.
> >>
> >> Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
> >> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
> >> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
> >> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
> >> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
> >> função não tem raiz real a primeira também não tem.
> >>
> >>
> >>
> >> Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ;
> >> f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
> >>
> >> f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
> >> =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
> >>
> >> Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0
> >> => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
> >>
> >> 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => h(x) =
> >> 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
> >>
> >> Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
> >> provar que h(x) não possui raízes reais.
> >>
> >> Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2)
> >> -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
> >>
> >> 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
> >> b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
> >>
> >>
> >>
> >> Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
> >>
> >> Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
> >> 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
> >>
> >> logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
> >>
> >>
> >>
> >> Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1
> >> =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
> >>
> >> =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
> >>
> >> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
> >> {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
> >>
> >> f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
> >> +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =>
> >>
> >> (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
> >>
> >> O primeiro caso implica em: x= -b/2a
> >>
> >> O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
> >>
> >> Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) <
> >> 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).
> >>
> >> Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =>
> >>
> >> f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
> >> +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
> >>
> >> =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
> >> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> >>
> >> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
> >> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
> >>
> >> Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo
> >> definido f(x) também tem, e se g(x)
> >>
> >> tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem
> >> raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
> >>
> >> raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x)
> >> tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos
> >>
> >> que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0.
> >>
> >> Suponha que a primeira hipótese seja falsa:
> >>
> >> a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a
> >> -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
> >>
> >> -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 =>
> >> 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0
> >>
> >> Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a > 0,
> >> logo:
> >>
> >> 64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0
> >> => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).
> >>
> >> De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 .
> >> Absurdo !
> >>
> >> Para o caso a < 0 => y > z, temos um raciocínio análogo, provamos
> >> que se a < 0, então h(a) > 0, logo o delta de h(a)
> >>
> >> é negativo, o que nos leva a conclusão de que (b^2 -4ac)^2 < 0
> >> Absurdo !
> >>
> >> Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é absurdo que ela
> >> seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,
> >>
> >> Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na segunda hipótese qua
> >> implica na primeira.
> >>
> >> Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas verdadeiras, isso
> >> implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz real
> >>
> >> CQD.
> >>
> >> Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem
> >> uma raiz real entre -1 e 0.
> >>
> >> OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele
> >> estava com a resposta pela metade.
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> André T.
> >>
> >>
> >>
> >> ----- Original Message -----
> >>
> >> From: Eder <mailto:edalbuquerque@uol.com.br>
> >>
> >> To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>
> >> Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM
> >>
> >>
> >> Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> 1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b²
> >> > = 2.
> >>
> >>
> >>
> >> 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real,
> >> prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real.
> >>
> >>
> >>
> >> Grato pela ajuda.
> >>
> >>
> >>
> >> Eder
> >>
> >
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