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Re: [obm-l] Re:
Ola Prof Morgado e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem agora
o problema :
Sejam "a", "b" e "c" tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c e
p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser as
traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do
enunciado de um idioma para outro ...
Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que os
cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de ideias, me
lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos
proverbios deste Profeta : "Nao respondas ao tolo segundo a sua estulticia,
para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele"
Um abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1812,211202
>From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Re:
>Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
>
>Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao p(x) =
>x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu discriminante
>eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE que
>p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao. Assim
>como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem de
>Salvador Addas Zanata).
>Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
>anteriores, pois ele estah errado.
>Morgado
>
>Eder wrote:
>
>>Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
>>
>>
>>
>>Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0 has
>>no real roots.
>>
>>
>>
>> ----- Original Message -----
>>
>> From: A. C. Morgado <mailto:morgado@centroin.com.br>
>>
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
>>
>> Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
>>
>> Subject: Re: [obm-l] Re:
>>
>>
>>
>>
>> Wagner wrote:
>>
>>> Oi pessoal !
>>>
>>>
>>>
>>> 2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
>>> de zero.
>>>
>>> Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
>>> ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
>>> módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
>>> depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
>>> f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
>>> função não tem raiz real a primeira também não tem.
>>>
>>>
>>>
>>> Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ;
>>> f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =>
>>>
>>> f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) => f '' (x)
>>> =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
>>>
>>> Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) > 0
>>> => 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b > 0 =>
>>>
>>> 2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b > 0 => h(x) =
>>> 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b > 0.
>>>
>>> Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
>>> provar que h(x) não possui raízes reais.
>>>
>>> Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2)
>>> -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} < 0 =>
>>>
>>> 12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b < 0 => 12b^2 -48ac -24b <0 =>
>>> b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 )
>>>
>>>
>>>
>>> Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
>>>
>>> Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac <
>>> 0 => b^2 -2b +1 -4ac < 0 => b^2 -4ac < 2b -1,
>>>
>>> logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
>>>
>>>
>>>
>>> Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 => 2ax +b-1
>>> =0 => x = (1-b)/2a => g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
>>>
>>> =c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =>
>>>
>>> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
>>> {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
>>>
>>> f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) => f ' (x) = (2ax
>>> +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =>
>>>
>>> (2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
>>>
>>> O primeiro caso implica em: x= -b/2a
>>>
>>> O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
>>>
>>> Vamos provar que delta < 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) <
>>> 0 => b^2 -4ac -2b < 0 => b^2-4ac < 2b ( 1 ).
>>>
>>> Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =>
>>>
>>> f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
>>> +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
>>>
>>> =a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
>>> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
>>>
>>> módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
>>> -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
>>>
>>> Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo
>>> definido f(x) também tem, e se g(x)
>>>
>>> tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem
>>> raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
>>>
>>> raiz real, note que se a > 0, g(x) tem mínimo e se a < 0, g(x)
>>> tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos
>>>
>>> que considerar 2 casos : a > 0 e a < 0.
>>>
>>> Suponha que a primeira hipótese seja falsa:
>>>
>>> a > 0 => y > z e y,z > 0 => g((1-b)/2a) > f(-b/2a) => -b^2/4a
>>> -b/2a +1/4a +c > a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =>
>>>
>>> -4b^2 -8b +4 > 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 =>
>>> 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) < 0
>>>
>>> Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a > 0,
>>> logo:
>>>
>>> 64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0
>>> => 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4> 0 ( 3 ).
>>>
>>> De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 < -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) < 0 .
>>> Absurdo !
>>>
>>> Para o caso a < 0 => y > z, temos um raciocínio análogo, provamos
>>> que se a < 0, então h(a) > 0, logo o delta de h(a)
>>>
>>> é negativo, o que nos leva a conclusão de que (b^2 -4ac)^2 < 0
>>> Absurdo !
>>>
>>> Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é absurdo que ela
>>> seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,
>>>
>>> Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na segunda hipótese qua
>>> implica na primeira.
>>>
>>> Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas verdadeiras, isso
>>> implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz real
>>>
>>> CQD.
>>>
>>> Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem
>>>uma raiz real entre -1 e 0.
>>>
>>> OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele
>>> estava com a resposta pela metade.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> André T.
>>>
>>>
>>>
>>> ----- Original Message -----
>>>
>>> From: Eder <mailto:edalbuquerque@uol.com.br>
>>>
>>> To: obm-l@mat.puc-rio.br <mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>
>>> Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM
>>>
>>>
>>> Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> 1)Um triângulo tem área 1 e lados a > = b > = c.Prove que b²
>>> > = 2.
>>>
>>>
>>>
>>> 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real,
>>> prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real.
>>>
>>>
>>>
>>> Grato pela ajuda.
>>>
>>>
>>>
>>> Eder
>>>
>>
>
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