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Re: [obm-l](sobre as transformaçoes) OBM-u(e essa tal elipse?)(alguem viu a do Luciano GM?)
Bem,continuando a discussao:estava pensando em demonstrar o Teorema de Pascal com GA(coordenadas) mas estou com dificuldades serias. Ai aparece o Saldanha com uma soluçao de um problema projetivo usando transformaçoes geometricas.Ai pensei no seguinte:se pudesse provar Pascal para conicas simples,do tipo xy=(hiperbole)1,y=x^2(parabola),ay^2+bx^2=ab(elipses),e depois provar que qualquer conica pode cair em um desses casos usando transformaçoes que levam retas em retas,acabo o problema.
Quem puder me ajudar,agradeço.Ass.:Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
PS.:Alias para as elipses matei o problema.Basta voce pegar a elipse,desenhar no vidro plano e inclinar o vidro ate a sombra da elipse virar um circulo.Como a sombraa reta e uma reta,acabou.
Luciano Castro <lucianocastro@wnetrj.com.br> wrote:
At 13:59 01/11/02 -0300, you(Johann) wrote:
>Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua soluçao?Como
>ele entende bem de projetiva,a soluçao deve ser legal.
Oi, pessoal,
Eu mostrei minha solução na segunda-feira passada, em nossa já tradicional
aula de preparação no IMPA. Estavam presentes 3 alunos, se não me engano:
Flavia Correia, Alex Abreu e Fabio Moreira.
Como o Nicolau já disse, minha solução é bem complicada. Eu espero
comentá-la na semana Olímpica.
É difícil escrever a solução em formato e-mail. Vou dar os passos principais:
1) Dualizamos tudo (por razões psicológicas). Temos então duas cônicas não
degeneradas tangentes a 4 retas fixas. Queremos provar que os oito pontos
de tangência pertencem a uma cônica.
2) Considere os 4 pontos de tangência de uma das cônicas. Utilizando muitas
vezes as propriedades de reta polar, provamos que o triangulo diagonal do
quadrilátero formado por esses 4 pontos está determinado pelas 4 retas
tangentes. (o triangulo diagonal do quadrilatero ABCD é formado pelos
pontos AB.CD , AC.BD , AD.BC).
3) Agora basta provar que se dois quadriláteros possuem o mesmo triângulo
diagonal, seus 8 vértices pertencem a uma cônica. Para isso, consideramos a
cônica determinada por um quadrilátero e um vértice do outro quadrilátero e
usamos a definição projetiva de conjugado harmonico junto com a seguinte
propriedade da reta polar: se uma reta passa pelo ponto P e corta uma
cônica nos pontos A e B, e corta a polar de P em relação a essa conica no
ponto Q, então P e Q dividem harmonicamente o segmento AB.
Há muitos detalhes a completar, mas espero que vocês consigam fazê-lo.
Leiam o artigo sobre Geometria Projetiva da Eureka 8. As propriedades
necessárias estão todas lá.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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